8.4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ И СВЯЗАННЫЕ С НЕЙ МЕТОДЫ

Явные методы идентификации по существу определяются видом операторов, применяемых к входным и выходным сигналам, в результате чего получается система уравнений для неизвестных параметров. Иллюстрацией могут служить уравнения (8.11) и (8.16). Нетрудно указать целый ряд таких операторов.

1) В предыдущих разделах исследовались операторы следующих типов:

причем возможно также и квантование функции времени Полученные в результате оценки корреляционной функции позволяют определить весовую функцию объекта.

2) Метод производных. Этот метод можно рассматривать как прямое обобщение корреляционных методов. Он известен также под названием дифференциальной аппроксимации. Рассмотрим ситуацию, схематически изображенную на фиг. 8.21. Предполагается, что все переменные состояния и все входные переменные измеримы и шум отсутствует. Динамика объекта описывается уравнением

Для оценки вектора неизвестных параметров получаем

Фиг. 8.21.

Критерием опять является условие минимума квадратичного по функционала, например

или в общем виде

Необходимое условие минимума

принимает в данном случае вид

где

Из системы уравнений (8.72) нужно определить неизвестные параметры Если линейна по сделать это совсем несложно. Подробности читатель может найти в дополнительной литературе по этому вопросу, приведенной в конце главы. Отметим, что использование описания системы в пространстве состояний вовсе не является неизбежным; кроме того, нелинейность объекта не обязательно

приводит к дополнительным осложнениям. (Как указывалось в гл. 4, принципиальное значение имеет линейность относительно параметров.)

Пример. Иллюстрацией может служить следующий простой случай. Объект описывается уравпением

а модель задается уравнением

Следовательно,

Использование критерия приводит к системе уравнений, линейных относительно неизвестных параметров:

или

откуда можно определить оценки параметров.

До сих пор предполагалось, что х измеряется без помех. При наблюдениях зашумленного выхода, например можно использовать уравнения (8.78),

заменяя на . Читатель должен заметить тесную связь с концепцией обобщенной модели. Благодаря этой связи ясно, что и в этом случае аддитивный шум приводит к смещенным оценкам параметров. Это смещение можно предотвратить, используя так называемый метод вспомогательных переменных (см. разд. 9.4). При этом получаются уравнения

в которых вспомогательные переменные, т. е. функции времени, зависящие от и но не искажаемые шумом.

3) Метод преобразования Лапласа. В этом случае оператор определяется как

Вычисления могут быть проведены для ряда значений переменной При этом снова получается система уравнений относительно неизвестных параметров.

Пример. Снова рассмотрим модель (8.75):

Для простоты примем пулевые начальные условия. Учи: тывая свойства оператора Лапласа X, получим

Используя три разных значения можно получить три уравнения для которые решаются обращением соответствующей матрицы. Конечно, можно взять

более чем три неравных значения и найти из получающейся системы уравнений оценки параметров по методу наименьших квадратов.

Отметим достоинство этого метода: функции времени не дифференцируются. При необходимости можно оценить и пачальные условия.

4) Метод преобразования Фурье. Этот метод аналогичен предыдущему; оператор определяется как

Отметим, что здесь возникают вопроеы сходимости или ошибки усечения из-за того, что для всех

Шинброт [29] предложил пазвание функции метода для используемых в предыдущих трех методах функций времени,

и название метод уравнений движения для следующей процедуры оценивания:

а) умножение уравнения модели на функции, соответствующие выбранному методу;

б) интегрирование;

в) решение полученных алгебраических уравнений для неизвестных параметров.

Функции метода могут быть:

а) зависящими от входного и выходного сигналов объекта (например, дифференциальная аппроксимация);

б) зависящими только от входного сигнала объекта (например, корреляционные методы, метод вспомогательных переменных);

в) не зависящими от входных и выходных сигналов объекта (например, метод преобразований Фурье и Лапласа).

5) Метод уравнений движения. Рассмотрим в общем виде функции метода не зависящие от входного и выходного сигналов объекта. При наличии подобной

независимости будем называть эти функции модулирующими. С помощью интегрирования по частям получаем

Эти соотношения можно подставить в уравнение модели. Приятно, что при этом не нуяшо дифференцировать экспериментальные реализации. Недостатком является то, что числовые значения цриобретают слишком большое значение. Этот нежелательный эффект предотвращается выбором таких модулирующих функций, у которых

На практике ограничиваются конечными интервалами наблюдений. Те же рассуждения применимы и к правому концу такого конечпого интервала Следовательно, модулирующие функции должны выбираться такими, чтобы К функциям, которые (приближенно) удовлетворяют этим ограничениям, принадлежит и функция Гаусса.

Шинброт [29] показал, что этот подход примепим и к нелинейным дифференциальным уравнениям вида

где для можно записать приближенные соотношения

Числовые значения этих коэффициентов можпо оцепить с помощью рассмотренных схем идентификации.

6) Метод Стрейца. Близкий к описанным выше методам подход развит Стрейцем [33], который рассмотрел задачу идентификации объекта по реализациям входных и выходных сигналов при отсутствии шумов. Пусть

дифференциальное уравнение объекта имеет вид

где — соответственно входной и выходной сигналы. Известны реализации сигналов на интервале Метод основан на повторном интегрировании соотношения (8.85) по интервалу После первого интегрирования получается

Повторное интегрирование дает

и, наконец,

Полагая в каждом из этих уравнений, можно оценить выражения в квадратных скобках по реализациям сигналов на Это можно сделать численными или графическими методами. Таким образом, опять получается система линейных уравнений для неизвестных коэффициентов:

(индекс обозначает номер уравнения).

Необходимо иметь столько независимых уравнений, сколько неизвестных, в данном случае — пять. Это число уравнений можно получить дальнейшим интегрированием.

Из соображений точности, однако, лучше иметь больше реализаций сигналов и интегрировать не более двух раз.

Удобнее всего определять (2) в точках экстремума или перегиба реализаций, где некоторые из этих производных равны нулю. Эти соображения могут служить основой для выбора интервала (интервалов)

Сравнительно простой случай [31, 32] имеет место, когда объект описывается уравнением

а вход и выход постоянны при так что

Пример. Если, кроме того, то с помощью повторного интегрирования можно показать, что

и так далее, где

Из-за неизбежных ошибок измерений применимость этого метода ограничивается дифференциальными уравнениями, порядок которых не превышает 3. Однако знания коэффициентов дифференциального уравнения -го порядка достаточно для аппроксимации динамики соответствующего объекта с помощью равных

постоянных времени. В данном случае в операционных обозначениях Лапласа

Следовательно,

откуда определяются должно быть целым.