4.5. УПРАВЛЯЕМОСТЬ, НАБЛЮДАЕМОСТЬ, ИДЕНТИФИЦИРУЕМОСТЬ

Эти понятия были введены в работе Калмана [32] и затем рассматривались многими авторами (см., например, [16, 37]). Для более полного ознакомления с предметом читателю следуем обратиться к работам, список которых приведен в конце этой главы. Здесь изложены только основные результаты для объектов, описываемых линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Случай систем с переменными коэффициентами рассмотрен в работе [36]. Пусть объект описывается следующими уравнениями:

где вектор размерности

Объект называется управляемым, если можно найти такой (быть может, неограниченный) вектор управления, который из произвольного начального состояния переводит систему в произвольное конечное состояние за

ограниченное время. Таким образом, необходимо найти условие, при котором можно определить управление, которое переводит систему из состояния в заданное состояние

или

Поскольку их известны, левая часть уравнения (4.66) определена. Единственное решение и существует только тогда, когда матрица

имеет ранг В этом случае называют управляемой парой.

Объект называется наблюдаемым, если по измерениям выходного сигнала объекта можно определить его состояние. Таким образом, необходимо найти условие, при котором по измерениям у можно определить

или, транспопируя, имеем

Так как векторы у известны, единственное решение существует только тогда, когда матрица

имеет ранг В этом случае называются наблюдаемой парой. Как показано Брокеттом [10], введение обратной связи может отразиться на наблюдаемости объекта.

Объект называется идентифицируемым, если по измерениям координат состояния объекта можно определить матрицу системы А.

или

Так как векторы х известны, единственное решение для А существует только тогда, когда матрица

имеет ранг

В литературе можно найти более детальное рассмотрение этих понятий. Так, например, различают управляемость по состоянию и по выходу, полную и общую, сильную и слабую. Наблюдаемость может быть полной и общей [36]. В работе [18] введено понятие -управляемости, когда система из начального состояния может быть переведена в -окрестность произвольного заданного состояния. Аоки [2] распространил понятия управляемости, наблюдаемости и идентифицируемости на стохастический случай. Вопросы идентифицируемости рассматривались также в работах [7, 52]. С идентифицируемостью тесно связано понятие различимых классов [47—49].

Примеры. Для иллюстрации этих понятий выберем простую систему второго порядка

Фиг. 4.12. (см. скан)

Фиг. 4.13. (см. скан)

(фиг. 4.12), где

Рассмотрим управляемость системы. Имеем

Система управляема, если ранг равен 2, т. е. когда и неуправляема, если Из фиг. 4.13 видно, что,

когда отсутствует управление координатой Отметим, что все остальные параметры могут равняться нулю, но система останется управляемой. Перейдем к наблюдаемости. Имеем

Система наблюдаема, если ранг равен 2, т. е. когда и ненаблюдаема, когда В этом случае выходная координата у не содержит информации (фиг. 4.14). Снова отметим, что все остальные параметры могут равняться нулю, но система останется наблюдаемой. Идентифицируемость:

Система идентифицируема, если ранг матрицы равен 2, и неидентифицируема, если определитель матрицы равен нулю. Для этого оба столбца матрицы должны быть линейно зависимы. Различают простейший случай, когда т. е. объект, который находится в состоянии покоя, не может быть идентифицирован,

Фиг. 4.14.

и нетривиальный случай, когда

В этом случае нужно найти собственные значения и и соответствующие собственные векторы Если то возбуждается только одна гармоника объекта а гармоника не идентифицируется. Если то может быть идентифицирована одна только гармоника Таким образом, объект идентифицируем только тогда, когда начальное условие возбуждает все гармоники объекта.

Другие вопросы, связанные с идентифицируемостью, рассмотрены в гл. 11.