ПРИЛОЖЕНИЕ Г. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО СРЕДНЕГО И ДИСПЕРСИИ ПРИ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ

Произведение двух случайных сигналов. Рассматриваемая система показана на фиг. Г.1. Эта система является даже несколько более общей, чем необходимо для наших целей. Стационарные случайные сигналы (элементы эргодического статистического ансамбля) перемножаются между собой. Потенциометр «модулирует» произведение функцией времени которая, например, может быть ступенчатой функцией, обусловленной переключениями некоторого ключа. (Если одна или обе функции времени х и у «модулированы» по мощности, функция может описывать эту модуляцию.) Модулированное произведение подается на блок с весовой функцией Предполагая, что при и принимая пулевые начальные условия, получаем

Если функция единичного скачка в момент то

Если блок интегратор, то таюке является ступенчатой функцией. Изменяя порядок интегрирования, находим

Фиг. Г.1.

Следовательно, оба случая — низкочастотный фильтр и интегратор можно описать одной и той же формулой

В этой постановке необходимо найти выражения для среднего значения и дисперсии выходного сигнала как функции времени.

а) Среднее значение. Поскольку оба сигнала предполагаются стационарными, среднее значение равно

Если функция ступепчатая,

то

Если используется интегратор

то

б) Дисперсия.

Дисперсия равна

Это можно переписать в виде

(см. скан)

Необходимо найти четвертый момент. Введем моментную производящую функцию

где

четырехмерная плотность вероятности рассматриваемого случайного процесса. Интересующий нас момент определяется смешанной производной четвертого порядка

Предположим, что рассматриваемые случайные величины имеют нулевое математическое ожидание и гауссовское совместное распределение вероятностей

где

Тогда нетрудпо показать, что производящая функция равна

Выделяя полный квадрат

и учитывая свойства интегралов от плотностей распределения, получаем, что

откуда в соответствии с находим

В рассматриваемом случае

Фиг. Г.2.

(обозначение введено для удобства). Поскольку

то Первый член в приводит к выражению

тогда как второй член порождает соответствующую составляющую в соотношении Следовательно, подставляя в получаем

Полагая и деля область интегрирования (фиг. на две части (фиг. имеем

Фиг. Г.3. (см. скан)

Таким образом, дисперсию как функцию времени можно представить в виде суммы двух интегралов:

Поскольку оба интеграла равны и

где

Если ступенчатая функция,

то

Если используется интегратор с весовой функцией

то

в) Обсуждение результатов. Во-первых, нужно отметить, что эти результаты справедливы для стационарных случайных процессов, для которых можно определить и четвертый смешанный момент качестве примера были взяты гауссовские процессы.

Во-вторых, следует отметить, что хотя было принято, что временная задержка равна нулю, на самом деле полученные результаты сохраняют силу и при отказе от этого цредположения. Если нужно определить и при другом значении аргумента, например это можно сделать введением фиктивного элемента задержки в блок-схему формирования сигнала (фиг. Г.4).

Фиг. Г.4.

Фиг. Г.5.

Наконец, можно показать, что выведенные формулы могут быть использованы также и для изучения переходных процессов среднего значения и дисперсии в схемах типа изображенной на фиг. Г.5, где стационарный сигнал модулируется функцией и затем поступает на линейный оператор с весовой функцией

Произведение синусоидального и случайного сигналов. Рассмотрим систему, изображенную на фиг. Г.6. Другими словами, ограничимся изучением влияния аддитивного шума. Как и в гл. 10, область интегрирования ограничена интервалом где — целое число и

а) Среднее значение. В гл. 10 отмечалось, что ввиду независимости сигнала и шума последний не влияет на математическое ожидание.

Фиг. Г.6.

б) Дисперсия. В гл. 10 были получены следующие выражения для дисперсии:

Эти формулы можно преобразовать к виду, аналогичному Вновь, полагая и деля область интегрирования (фиг. на две части (фиг. получаем

Поскольку оба интеграла равны и

где

откуда следует выражение

Аналогично можно вывести выражения для