13.3. МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ ОШИБКИ

Функция ошибки (13.16) была получена при следующих условиях: шум наблюдений аддитивный, гауссовский, белый; шум объекта аддитивный, гауссовский. Если распределения шумов неизвестны, выражение (13.13) можно использовать в качестве приемлемой функции ошибки, основанной на интуитивных соображениях. В этом случае в результате минимизации получаются оценки наименьших квадратов.

Минимизируя (13.16), можно найти оценку т. е. оценку вектора параметров и состояния в момент времени по наблюдениям Опять можно выделить случаи интерполяции (сглаживания) при оценивания текущего состояния (фильтрации) при экстраполяции (если используется расширенное выражение для при

Возможны, например, следующие подходы к поставленной задаче минимизации:

а) Метод динамического программирования, приводящий к последовательной процедуре, которая дает возможность учитывать новую поступающую информацию, но имеющий ряд свойственных ему специфических проблем, связанных с необходимым объемом памяти вычислительной машины (Беллман: проклятие размерности).

б) Дискретный принцип максимума.

в) Дискретные уравнения Эйлера — Лагранжа; последние два метода приводят к нелинейной двухточечной краевой задаче.

г) Методы но с предварительной линеаризацией уравнений объекта относительно точки в результате чего получаются приближенные оценки. Однако такой подход позволяет получить рекуррентные схемы, в которых результаты новых наблюдений можно учитывать непосредственно по мере их поступления.

Необходимые условия минимума получаются непосредственно дифференцированием:

Рассматривая эти условия как. уравнения для определения оптимальных оценок и исключая из них находим

Соотношения (13.17) и (13.18) называют каноническими уравнениями. Аналогично выводятся граничные условия при

Формулы (13.20) — (13.23) определяют хорошо известную двухточечную краевую задачу. Граничные условия разделены: для х они заданы в начальной точке рассматриваемого интервала, для X — на его конце. Если бы оба условия относились к одному и тому же концу этого интервала, то были бы возможны непосредственные вычисления в прямом или обратном направлении. Поскольку граничные условия разделены, прямое решение двухточечной краевой задачи невозможно (см. разд. 13.4). Формулы, аналогичные (13.20) — (13.23), можно получить и при непрерывном описании объектов.

Упрощения. В предыдущем рассмотрении объект предполагался нелинейным. В разд. 13.1 уже указывалось, что даже для линейных объектов задача совместного оценивания параметров и состояния оказывается нелинейной. Тем не менее можно ожидать, что для более простых объектов будут получаться и более простые задачи оценивания. По-видимому, возможен лишь неполный анализ такой связи между сложностью объекта и сложностью задачи оценивания.

В качестве одного такого интересного случая можно рассмотреть следующий пример [1]. Пусть линейный стационарный объект описывается уравнениями

где шумы предполагаются белыми. Отметим, что наблюдаются все состояния. Авторы упомянутой статьи показали, что оценка А вида

сходится к А с вероятностью единица, а фильтр Калмана, построенный на основе этих дает оценку, сходящуюся с вероятностью единица к оценке, даваемой истинным фильтром Калмана. Следовательно, как параметры, так и состояние оцениваются правильно. В работе [2] можно найти другой подход к таким задачам, основанный на использовании настраиваемых моделей.