12.3. ОБСУЖДЕНИЕ, ПРИЛОЖЕНИЯ И ПРИМЕРЫ

Заслуживают внимания также следующие вопросы:

а) Возможное отсутствие сходимости процесса оценивания, т. е. появление ковариационной матрицы, которая существенно меньше истинных ошибок оценок, и возможные причины этого явления.

б) Исследование невязки которая по своим вероятностным характеристикам должна быть близкой к (дискретному) белому шуму и с помощью которой можно проверять априорную информацию, например, об уровне шума наблюдений.

в) Случай отсутствия шума наблюдений когда матрица следовательно, может быть обращена.

г) Случай отличного от белого (коррелированного) шума наблюдений ; при этом целесообразно включить

в модель объекта фильтр, преобразующий белый шум в коррелированный.

д) Сигнал и шум коррелированы; здесь также оказывается полезным расширение модели.

е) Случай разных интервалов дискретизации для различных входных и выходных сигналов и (или) последовательности оценок.

ж) Влияние неточности или неполноты априорной информации; частично известные параметры объекта можно включать в схему оценивания в качестве подлежащих определению переменных состояния [5]; возможности построения адаптивных фильтров в таких случаях.

з) Наконец, случай объектов с непрерывными (по времени) сигналами, которые можно описать следующим образом.

Объект:

Разумеется, использование непрерывных белых шумов требует определенной осторожности по ряду причин математического и физического характера.

Фильтр:

Пример. Для иллюстрации изложенных идех! рассмотрим очень простой пример. Стационарный случайный сигнал с известными статистическими свойствами искажается стационарным белым шумом. Необходимо по возможности наилучшим образом оценить Объект

и наблюдения определяются формулами

Фильтр описывается соотношениями

Уравнения фильтра можно также записать в виде

Величины заранее полностью определяются априорной информацией. Рассмотрим два случая:

(см. скан)

Фиг. 12.7.

После нескольких итераций становится постоянной, и, следовательно, фильтр будет стационарным. На фиг. 12.7 показана апостериорная ковариация (неопределенность) оценки. От значений (соответственно от 0) она быстро приближается к асимптотическому значению. Скорость установления стационарного состояния зависит от параметров. Условием стационарности является

Следовательно,

откуда можно найти В рассматриваемом случае

Положительный корень

Примеры. На фиг. 12.8-12.10 приведено несколько элементарных примеров, иллюстрирующих эти алгоритмы фильтрации. На фиг. 12.8 представлены осциллограммы для статистического случая, т. е. оценивания по дискретным результатам наблюдений, искаженным белым шумом. Осциллограммы иллюстрируют влияние принятой априорной информации относительно оцениваемых

(кликните для просмотра скана)

величин. рафики соответствуют предположению что не корректно, и большому значению показывающему высокую степень недостоверности принятого значения На фиг. 12.8, а приведено 7 реализаций, соответствующих различным последовательностям шума, а на фиг. 12.8, б показано изменение стандартного отклонения относительно математического ожидания Кривые в соответствуют случаю, когда и выбрано малым, т. е. принятое значение необоснованно считается достаточно достоверным. На фиг. 12.8, в также показаны 7 реализаций, а на фиг. стандартное отклонение оценки. Видно, что оценка приближается к истинному значению медленно из-за неправильного выбора и В случаях значение было выбрано правильно и мало.

Фиг. 12.9.

Фиг. 12.10.

На фиг. 12.8, д показаны 7 реализаций, на фиг. 12.8, е - стандартное отклонение. Случай ж соответствует объединению кривых а

На фиг. 12.9 и 12.10 представлены осциллограммы для одномерного динамического случая — оценивания низкочастотного сигнала по наблюдениям, проводимым при наличии белого шума. На фиг. 12.10 показано влияние априорной неопределенности относительно а; (0). Фиг. 12.11 соответствует статическому случаю, но уже для непрерывных сигналов. Верхний график представляет результаты фильтрации обычным простым низкочастотным фильтром (первого порядка, с постоянными коэффициентами), внизу показан выход фильтра Калмана первого порядка. Входные сигналы обоих фильтров одинаковы. Объект и наблюдения задаются уравнениями

где стационарный белый шум с нулевым средпим и дисперсией Фильтр задается уравнениями

Это простое нелинейное дифференциальное уравнение легко решается:

(кликните для просмотра скана)

Фиг. 12.12.

Итак, фильтр можно определить одним из следующих уравнений:

Коэффициент усиления фильтра Калмана зависит от времени (фиг. 12.12). Этот фильтр также можно рассматривать как фильтр низких частот с возрастающей постоянной времени. Отметим, что, согласно фиг. 12.10, дисперсия выхода фильтра Калмана убывает со временем, тогда как дисперсия фильтра с постоянными коэффициентами стремится к постоянному уровню.

Связь между фильтрами Винера и Калмана. Поскольку оба фильтра оптимальны в указанном выше смысле, то при соответствующих условиях они должны давать одинаковые результаты. Проиллюстрируем это на простом непрерывном случае.

Пример. Уравнения объекта и наблюдений имеют вид

где некоррелированные стационарные белые шумы с нулевыми средними и дисперсиями

Фильтр Калмана задается уравнениями

При следует ожидать, что фильтр с переменными параметрами становится стационарным. Следовательно,

или

Величина должна быть неотрицательной. Если положить то для стационарного фильтра можно записать

или

Фильтр Винера определяется уравнением (12.3), в котором в данном простом случае следует положить

Следовательно,

где вычет при Отсюда

Эквивалентность обоих фильтров следует из того, что

Эта глава является лишь вводным обзором для следующей; подробнее с упомяпутыми процедурами фильтра можно познакомиться, обратившись к литературе (см., например, [15]). Среди статей по применениям фильтра Калмана в навигации можно назвать [10, 16, 19, 24]. Приложения к задачам связи рассмотрены в [4, 21]. Ссылки на работы по приложениям к управлению в промышленности и к биологическим объектам даны в гл. 14.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)