ПРИЛОЖЕНИЙ Б. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ

Данная книга рассчитана на читателя, знакомого с основами теории вероятностей и теории случайных функций. Это приложение может служить справочником по наиболее употребительным обозначениям и понятиям. Оно широко используется в книге без дополнительных ссылок.

Множества. Соотношения между событиями определяются правилами теории множеств. Понятия: множество, подмножество, элемент, пустое мпожество. Операции (фиг. Б.1): А — дополнение, — объединение, пересечение. Свойства:

(см. скан)

Вероятность. Каждому событию А из множества возможных событий приписывается число называемое вероятностью. Аксиома

Аксиома II: если достоверное событие.

если невозможное событие.

Аксиома III: если т. е. если события несовместны. Аксиома IV: (при счетном числе возможных событий)

Фиг. Б.1.

Сложные события. На основе двух простых событий рассматривается сложпое событие

Условная вероятность. Определение:

Следовательно,

Для независимых событий

Часто событие можно охарактеризовать числом или набором чисел. Действительной случайной величиной X называется величина, которая может принимать ряд значений, причем для каждого действительного числа х определена вероятность Случайная величина может быть дискретной (если она имеет конечное или счетное множество различных значений) и непрерывной. Для этих величин можно определить следующие понятия.

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

Продолжение табл. (см. скан)

Часто работать с распределениями случайной величины оказывается очень сложно. Нередко допустимо (и намного проще) использовать параметры распределения вместо самих функций. При этом применяются следующие понятия.

(см. скан)

(см. скан)

Продолжение табл. (см. скан)

Случайный процесс — семейство случайных величин зависящих от параметра принимающего значения из множества Реализация (выборочная функция) случайного процесса получается, если каждому из приписывается определенное значение данной книге время, временной интервал наблюдений. В этом случае можно рассматривать реализацию как случайный сигнал, а случайный процесс — как множество случайных сигналов. В принципе это множество сигналов должно реализовываться с помощью большого числа физических систем с (макроскопически) идентичной структурой,

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Фиг. Б.6.

Фиг. Б.7.

находящихся при идентичных условиях (фиг. Если каждая система выдает случайный сигнал, то можно считать, что статистические свойства всех этих сигналов одинаковы. При этих условиях можно определить вероятностные характеристики амплитуды в момент

(если функция дифференцируема). На фиг. Б.6 показаны некоторые сигналы (элементы мнояества), траектории которых проходят в момент через интервал

Более детальное описание случайного процесса достигается при помощи изучения статистического ансамбля значений процесса, соответствующих двум моментам времени (фиг. Б.7):

Аналогично можно найти плотности вероятности характеризующие распределения вероятностей амплитуд для трех, четырех и т. д. моментов времени и дающие еще более детальное описание случайного процесса. Как и для случайных величин, при описании случайных процессов можно ограничиться некоторыми параметрами вместо плотностей распределения. В качестве таких

параметров обычно используются моменты по множеству (т. е. полученные усреднением по статистическому ансамблю), например

Последнее выраяение определяет корреляционную функцию имеющую важное значение для описания свойств случайного процесса. Аналогично связь между двумя случайными процессами можно охарактеризовать взаимной корреляционной функцией

Эти определения справедливы для произвольных случайных процессов, в том числе и нестационарных. Чрезвычайно важный подкласс образуют стационарные процессы, т. е. такие, для которых все статистические свойства инвариантны к сдвигу по оси времени (фиг. Б.5):

при всех 9. Отсюда, в частности, следует, что все параметры стационарных процессов не меняются при сдвиге во времени:

где

Для таких процессов имеют смысл понятия усреднения по времени и моментов по времени. Если соответствующие моменты по множеству и по времени совпадают,

то процесс называют эргодическим.

Некоторые свойства корреляционных функций стационарных процессов:

Если содержит периодическую составляющую, то также ее содержит.

Если не содержит периодической или постоянной составляющей, то при Для описания случайных процессов в частотной области используются спектральные и взаимные спектральные плотности (энергетические спектры) которые посредством преобразования Фурье или двустороннего преобразования Лапласа выражаются через соответствующие корреляционные функции (уравнения

Винера — Хинчина):

На фиг. Б.8 показаны некоторые из таких пар функций. Обратите внимание на использование в аргументе -преобразования, чем обеспечивается соответствие между и -преобразованиями. Следует отметить еще одну особенность преобразования При определении корреляционной функции можно выбирать т. е. интегрировать по оси которая делит комплексную -плотность на две части — левую полуплоскость соответствующую и правую полуплоскость соответствующую (фиг. Б.9).

В качестве применения методов описания сигналов в частотной и временной областях рассмотрим фиг. Б. 10. В эргодическом случае нужно определить взаимную корреляционную функцию и взаимную спектральную плотность

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Фиг. Б.9. (см. скан)

Полученное выражение представляет собой двойную свертку. Применяя двустороннее преобразование Лапласа, получаем взаимную спектральную плотность

где

причем при (условия физической реализуемости). Эти преобразования осуществляются по

Фиг. Б.10.

(кликните для просмотра скана)

схеме

Передаточная функция с аргументом воздействует первый индекс спектральной плотности, передаточная функция с аргументом на второй. На фиг. эта процедура иллюстрируется для двух весьма простых примеров. Аналогичное соотношение с заменой справедливо и при использовании преобразования Фурье.