8.3. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ДВОИЧНЫХ СИГНАЛОВ

Ранее было установлено [10], что корреляционные измерения для сигналов с гауссовским совместным распределением можно производить, используя их двузначный (двоичный) вариант. При этом для построения коррелятора можно использовать цифровые средства. Когда учитываются только полярности сигналов, этот принцип называют корреляцией совпадения знаков.

Пусть сигналы и имеют гауссовское совместное распределение вероятностей со средними значениями т. е.

где Корреляционная функция определяется формулой

Для плотности распределения (8.61) она сводится к

Используя двоичные сигналы и вместо исходных сигналов, получаем

Подставляя сюда выражение (8.61), находим

Сравнивая из формул (8.63) и (8.65), замечаем, что:

1) как и следовало ожидать, в результате операции усечения из корреляционной функции исчезают мощности сигналов;

2) V монотонно зависит от поскольку Можно показать, что дисперсия этой корреляционной функции ненамного хуже, чем для нормированной корреляционной функции, вычисленной апалоговым коррелятором [34]. Интересно, что выражение (8.65) можно получить для более широкого класса плотностей распределения, например для плотностей с эллиптическими линиями уровня (распределения с эллиптической симметрией; доказательство и обсуждения см. в [21]).

Использование дополнительных сигналов. Приведенные выше рассуждения справедливы для сигналов с гауссовским распределением. На практике распределение амплитуд может быть неизвестно. В этих случаях соотношение между и неизвестно. Был сделан ряд попыток (линеаризация) избавиться от этого недостатка корреляции совпадения знаков. Все они основаны на добавлении вспомогательных сигналов к входным сигналам коррелятора (фиг. 8.18). Анализ коррелятора этого типа обнаруживает хорошее соответствие между истинной и измеренной корреляционными функциями, несмотря на то что осуществляется перемножение знаков. В качестве

Фиг. 8.18.

вспомогательных сигналов используются:

а) Случайные числа, которые являются реализациями двух независимых случайных величин с равномерным распределением [34]; применяются и другие распределения [7].

б) Пилообразные случайные сигналы, которые представляют собой реализации двух независимых процессов с равномерным распределением [15].

в) Детерминированные функции, в некотором смысле независимые на конечном интервале времени и сохраняющие это свойство при любых временных сдвигах (инвариантно относительно сдвига независимые функции) [22].

Отличие последнего метода от упомянутых в пунктах состоит в использовании регулярных, а не случайных дополнительных сигналов. Рассматриваемое здесь свойство независимости определяется так: функции являются инвариантно относительно сдвига независимыми в интервале тогда и только тогда, когда для любых и любых положительных, целых

Практический интерес представляет обладающее этим свойством независимости множество двоичпых функций

радемахера

Они образуют ортонормальную систему. Множество этих функций полно, что, впрочем, несущественно для рассматриваемой задачи.

На фиг. 8.19 показаны первые четыре функции Радемахера. Их может генерировать двоичный счетчик, возбуждаемый периодическими импульсами. Линейные комбинации этих функций также независимы инвариантно к сдвигу, если они не содержат общей функции Радемахера. Таким способом можно формировать сигналы более чем с двумя уровнями. На фиг. 8.20 приведены графики двух таких трехуровневых сигналов, обладающих необходимым свойством независимости. Сигналы подобного типа добавляются к входным сигналам коррелятора, как показано на фиг. 8.18. Суммарные сигналы подаются на ограничители. Можно показать, что корреляционная функция этих двоичных сигналов совпадает с корреляционной функцией квантованных входных сигналов (см. разд. 8.2). Следовательно, применим и весь анализ погрешностей оценки корреляционной функции. Благодаря периодичности этих вспомогательных сигналов они обладают определенными преимуществами перед случайными вспомогательными сигналами, так как их вклад в выходной шум коррелятора (если его измерять на целом числе периодов) меньше. В работе [22] приведены значения отношения сигнала к шуму для нескольких типов корреляторов.

Фиг. 8.19.

Фиг. 8.20.