14. Квантовомеханическое исследование электронных термов

Рассмотрим сначала одноэлектронную систему. Другие электроны должны либо совершенно отсутствовать, как для молекулярного иона водорода либо схематически учитываться аксиально симметричным дополнительным членом в поле ядер. Мы идем, следовательно, по тому же пути, что и в атомной теории при исследовании спектров щелочных металлов. Влияние электронных оболочек на валентный электрон рассматривается просто как экранирование заряда

ядра, которое, не нарушая шаровой симметрии поля, ведет к отступлению от закона Кулона. Мы пренебрегаем вращением и колебаниями ядер, т. е. считаем, что они находятся в состоянии покоя.

Примем прямую, соединяющую ядра, за ось Вместо декартовых координат введем систему цилиндрических координат (расстояние от оси (азимут в плоскости, перпендикулярной к оси При пренебрежении спином уравнение Шредингера гласит:

оператор Лапласа — в цилиндрических координатах имеет вид:

V — электрический потенциал, по нашим предположениям, аксиально симметричен и поэтому независим от т. е. Окончательно уравнение Шредингера принимает вид:

Легко видеть, что переменные отделяются от подстановкой

Подстановка в (32) дает для и два уравнения:

где — постоянная.

Уравнение (34) имеет два решения:

Очевидно, они должны быть периодическими функциям с периодом

Из этого следует, что А может принимать только действительные целые значения:

А в единицах величина орбитального момента электрона относительно молекулярной оси.

Так что собственная функция (33) имеет вид:

где — интеграл уравнения (35). и собственное значение из (35) зависят от А.

Из (37) непосредственно вытекает доказательство утверждения предыдущего раздела о том, что состояния — двойные, простые. Действительно, для формула (37) дает две вырожденные собственные функции, соответствующие обоим знакам А, в то время как для имеется только одно решение