14. Новая статистика

Выведенное в разделе 1 обобщение закона распределения Больцмана на квантованные системы пригодно только для совокупности однородных независящих друг от друга систем. Примером может служить газ, состоящий из однородных удаленных друг от друга атомов, распределенных по различным внутренним квантовым состояниям.

Для статистического распределения энергии поступательного движения по атомам газа этот закон не справедлив. Рассмотрим, например, газ, состоящий из однородных материальных точек, между которыми не действуют никакие силы (идеальный газ). Если в сосуде содержится только одна молекула этого газа, она может находиться в любом квантовом состоянии поступательного движения (раздел 11); ее энергия имеет одно из значений

формулы (58).

Если в сосуде содержатся две молекулы, каждая из них может находйться в любом из энергетических уровней (69). Однако, хотя, согласно предположению, молекулы не взаимодействуют друг с другом, мы не можем отсюда заключись, что они независимы друг от друга. Если, например, на них распространяется принцип запрета Паули, то они взаимодействуют друг с другом, т. е. обе не могут находиться в одном состоянии. Аналогично, молекул, если бы на них распространялся принцип Паули, должны были бы занять различных энергетических уровней. Тот факт, что только два электрона в атоме могут находиться в -оболочке, тоже связан не с механическими силами, а просто с выполнением принципа Паули.

Если для совокупности частиц справедлив принцип Паули, т. е., если в каждом состоянии может находиться только одна частица, больцмановская статистика должна быть заменена новой статистикой Ферми. Мы рассмотрим позже другого рода зависимость между состояниями движения, требующую применения статистики, разработанной Бозе и Эйнштейном.

Существование различных возможностей распределения молекул газа и причины различий между классической статистикой Больцмана и новыми статистиками с точки зрения квантовой механики было рассмотрено Дираком. Он вывел при этом новым путем статистику Ферми.

Обозначим через координаты первой молекулы есть сокращенное обозначение через второй и т. д. Пусть

суть собственные функции, соответствующие энергетическим уровням (69). Если первая молекула находится в квантовом состоянии ее собственная функция запишется как Если первая молекула находится в состоянии вторая в состоянии то, поскольку, согласно предположению, между молекулами не действуют силы, полная

функция системы будет равна произведению собственных функций отдельных молекул

Соответствующая полная энергия равна

Так как все молекулы одинаковы, то в энергетических уровнях проявляется обменное или резонансное вырождение. Получится то же значение энергии (72), если любым другим образом распределить молекул по состояниям

Если мы обозначим одну из перестановок, которые можно осуществить с индексами через и числа, в которые переходят с помощью перестановки через то собственному значению (72) будет соответствовать собственных функций вида

Если все состояния различны, то и все собственных функций (73) отличны друг от друга. Следовательно, состояние (72) также -кратно вырождено. Если, наоборот, мы примем, что некоторые из индексов одинаковы, т. е. что принцип Паули неприменим, то некоторые из собственных функций (73) совпадут друг с другом. Степень вырождения будет, следовательно меньше. В этом случае мы можем разбить индексов на групп равных между собой индексов так что Каждое из чисел может быть равно и единице. Число отличных друг от друга собственных функций (73) равно тогда числу возможных распределений индексов по группам т. е. равно

Каждая линейная комбинация вырожденных собственных функций (73) также является собственной функцией, соответствующей собственному значению (72). Из этих линейных

комбинаций, различающихся характером симметрии по отношению к перестановке координат частиц, физический смысл имеют симметричные и антисимметричные. Симметричная собственная функция не меняется при любой перестановке координат частиц; антисимметричная функция при перестановке координат частиц по абсолютной величине также остается неизменной, а знак ее зависит от числа перестановок: если производится четное число транспозиций (четная перестановка), он остается прежним, а если число транспозиций нечетное (нечетная перестановка), знак меняется.

Симметричная линейная комбинация просто равна сумме всех собственных функций (73);

Антисимметричная комбинация равна

причем для четных перестановок следует брать знак а для нечетных Можно Фант написать также в форме детерминанта:

В природе встречаются частицы, собственные функции которых всегда антисимметричны, а также частицы, собственные функции которых всегда симметричны. К первым относятся, например, электрон и протон, ко вторым а частицы и световые кванты, поскольку их можно рассматривать как частицы.

Частицы системы, собственная функция которой антисимметрична, подчиняются принципу Паули. Это видно непосредственно из (77). Действительно, когда состояние заполнено дважды, два из индексов совпадают. Тогда

две строки детерминанта (77) одинаковы, и последний равен нулю. Когда собственная функция симметрична, справедлива статистика Бозе-Эйнштейна.

Мы должны теперь исследовать, какие состояния возможьы для системы, подчиняющейся статистике Ферми или статистике Бозе-Эйнштейна. Как мы увидим, если система подчинялась статистике Больцмана, каждой из собственных функций (73) соответствовало бы разрешенное квантовое состояние.

Состояние газа полностью описывается заданием чисел заполнения отдельных энергетических уровней

из индексов равны из них равны из них равны

В случае статистики Бозе-Эйнштейна (78) представляет собой простое квантовое состояние, осуществимое только одним способом, так как имеется только одна симметричная собственная функция (75) системы из молекул.

В случае статистики Ферми ни одно из чисел заполнения не может быть больше 1. Действительно, если одно из чисел больше единицы, антисимметричная собственная функция (77) равна нулю, так что состояние (78) не соответствует собственной функции. Следовательно, могут принимать только значения и 1. Таким образом (78) представляет собой простое состояние, осуществляемое только одним способом.

Наконец, в случае, в действительности не встречающемся, когда всем собственным функциям (73) соответствуют квантовые состояния (78), будем иметь, что, согласно (74), число этих состояний

совпадает с числом способов осуществления этого распределения по статистике Больцмана.

Покажем различия между статистиками на простом численном примере. Примем, что система состоит из двух

одинаковых молекул, причем каждая из них может находиться в одном из трех квантовых состояний поступательного движения. На фиг. 53 они изображены схематически как лежащие рядом квадратные ячейки. Сумма чисел запольения этих квантовых состояний равна 2. Имеется в возможностей распределить две молекулы по трем квантовым состояниям:

Для случая статистики Больцмана молекулы на фиг. 53 обозначены двумя различными буквами так как два состояния, получаемые одно из другого перестановкой местами в случае, когда последние расположены в двух разных ячейках, различны. Полная же равноценность обеих молекул в новой статистике, их "неразличаемость" выражается здесь тем, что обе молекулы обозначаются одним символом

Фиг. 53. Возможные распределе двух частиц по квантовым состояниям в различны статистиках. Состояния изображены квадратными клетками.