8. Упругие свойства одномерной решетки

В дебаевской теории теплоемкости атомная кристаллическая структура твердого тела учитывается очень схематически, введением граничной частоты упругих волн. В этом разделе будет подробнее исследовано влияние атомной структуры на распространение упругих волн.

Вначале мы и здесь рассмотрим упрощенный случай — именно цепочку однородных атомов, находящихся на одной прямой на равных расстояниях а друг от друга. Между соседними атомами действуют упругие силы, стремящиеся сохранить равновесное расстояние а. Таким образом, мы имеем простую одномерную кристаллическую решетку, упругие свойства которой будем исследовать.

Предположим, что атомы могут двигаться только вдоль упомянутой прямой. Расстояние атома от положения равновесия мы обозначим через На атом действуют силы со стороны атомов. Если три атома удалены на расстояния от своих положений равновесия, то расстояние между соседями равны а соответствующие силы имеют значения константа упругой связи между атомами). В результате, на атом действует сила Если масса атома равна уравнение движения будет иметь вид:

Если атомную цепочку продлить безгранично в обе стороны, то ее возможные движения описываются бесконечно большим числом уравнений типа (17), в которых проходит все отрицательные и положительные целые значения, включая нуль.

Решение этой системы уравнений, изображающее упругие волны вдоль цепочки атомов, получается без труда. Ищем решение в виде:

Подставляя в (17), получаем, что (18) действительно представляет решение нашего уравнения движения, если соблюдается условие:

Уравнение (18) описывает упругую волну вдоль линейной решетки, причем длина волны X определяется расстоянием между точкой и ближайшей точкой решетки, находящейся в той же фазе колебания:

где а равновесное расстояние между двумя соседними атомами.

С помощью (20) мы получаем из (19)

Отсюда находится верхняя граница для :

т. е. вдоль рассматриваемой прямой могут распространяться только упругие волны с частотами, не превышающими . Этим требованием известным образом оправдывается и дебаевское допущение максимальной частоты

Умножая теперь (21) на , получим скорость распространения нашей волны:

Скорость распространения зависит, таким образом, от длины волны. Это является специфическим свойством упругих волн в среде с атомной структурой. В упругом континууме

скорость распространения не зависит от длины волны.

Для достаточно больших можно в (22) заменить его аргументом и получить тогда постоянную скорость распространения

Этот предельный случай соответствует, следовательно, обычной теории упругости. Если, однако, X становится порядка расстояния между атомами, скорость распространения уменьшается, и для имеем

Для динамики кристаллической решетки особенно важно определение собственных частот для случая конечной протяженности тела. В качестве одномерной модели рассмотрим заполненую атомами линейную цепочку конечной длины. В качестве граничных условий мы можем установить, что конечные точки цепочки не принимают участия в колебаниях. Однако это условие усложняет решение. Поэтому мы заменяем его, как это делается и в других подобных случаях, физически равноценным условием, что в бесконечно протяженной цепочке 2 атома, номера которых различаются на всегда должны находиться на одном расстоянии друг от друга. Свойства бесконечной цепочки с этим условием периодичности те же, что и у конечной цепочки с атомами, конечные точки которой находятся в покое.

Чтобы найти собственные частоты нашей одномерной решетки, ищем решение системы уравнений (17) в виде:

Здесь одна из собственных частот, а независящая от времени величина, удовлетворяющая условию периодичности

Подставляя (23) в (17), получаем уравнение

решениями которого являются выражения вида

если одновременно удовлетворяется, аналогичное (19), соотношение

Так как уравнение (25) линейно относительно 7], любая линейная комбинация обеих функций (26) также представляет собой решение (25).

Чтобы выполнялось условие периодичности (24), необходимо и достаточно, чтобы

где -целое число. Оба решения (26) принимают тогда вид:

Для каждого значения существуют, следовательно, 2 линейно независимых решения. Двум значениям сумма или разность которых равна целому кратному соответствуют, однако, равные или противоположно равные решения. Следовательно, чтобы получить все решения (29), нужно использовать значения лежащие между и т. е. при четном -значения

а при нечетном — значения

Для существует только одно решение, другое пропадает. Любому другому значению соответствуют 2 независимых решения, так что общее число решений всегда равно

Соответствующие частоты получаются, если подставить в (27) величину из (28):

Каждому значению между и соответствует одна собственная частота, которая в общем случае дважды вырождена. Только частоты с и -простые.