18. Статистика Ферми

Исследуем, наконец, статистические свойства газа, молекулы которого подчиняются статистике Ферми. В то время как статистика Бозе-Эйнштейна находит основное применение при рассмотрении фотонного газа, статистика Ферми приобрела особенное значение для электронного газа. В частности, она сделала возможным понимание электрических свойств металлов, определяемых поведением свободных электронов.

При изучении этого вопроса мы можем очень близко следовать выводу, проведенному в разделе 15 для статистики Бозе-Эйнштейна. Мы рассматриваем снова сосуд с объемом V, наполненный частицами, которые на этот раз подчиняются статистике Ферми. Примем, что частицы одноатомиы и, с учетом дальнейшего применения к электронному газу, что основное состояние -кратно вырождено электронов, соответственно двум возможным ориентациям спина,

Снова разделим область значений кинетической энергии на последовательные интервалы:

которые должны быть настолько малы, что их можно рассматривать как дифференциалы. Отдельные интервалы заполнены

частицами. Числа должны быть достаточно большими. Как и раньше, обозначим через число состояний отдельной молекулы, соответствующих интервалу Этому интервалу согласно (59), соответствует

ячеек фазового пространства. Вследствие кратного вырождения, каждой ячейке соответствует состояний. Таким образом, получаем:

Мы должны прежде всего исследовать, каким образом распределены частиц в интервале энергии квантовым состояниям. Так как частицы подчиняются принципу Паули, в каждом состоянии может находиться не больше одной частицы. Число возможных распределений определяется таким образом числом

различных возможностей для выбора заполненных состояний из имеющихся. Число возможностей осуществления распределения (110) равно, очевидно, пооизведению

Состояния, получающиеся перестановкой частиц, вследствие неразличаемости частиц, рассматриваются как тождественные. Это согласуется с тем, что антисимметричные, согласно принципу Паули, собственные функции (77) для двух таких состояний равны или прямо противоположны, в зависимости от четного или нечетного числа перестановок. Они различаются между собой не больше, чем на множитель и, следовательно, в смысле квантовой механики, представляют одно и то же состояние.

Наивероятнейшим распределением является снова такое, для которого II, и, соответственно, имеют максимум. Вычислив, с помощью приближенной формулы Стирлинга, отдельные сомножители в (112), получим:

отсюда.

причем снова должны удовлетворять условиям постоянства числа частиц и энергии

Максимум выражения (113) при дополнительных условиях (114) определяем снова по методу неопределенных коэфициентов (см. раздел 15), т. е. ищем абсолютный максимум выражения:

Параметры следует определить таким образом, чтобы выполнялись условия (114).

Производные этого выражения по должны быть в отдельности равны нулю:

а если вместо а введем новую постоянную то получим выражение для аналогичное выражению (87):

Это выражение с точностью до знака в знаменателе совпадает с соответствующим выражением (87) для статистики Бозе-Эйнштейна. Так же, как и последнее, оно переходит в классическую функцию распределения Больцмана, когда, например, при больших значениях можно пренебречь 1 по сравнению с здесь мы получаем значение из сравнения обоих законов распределения:

Вследствие независимости величины от это соотношение справедливо не только для больших когда оба закона распределения совпадают, но и для любого . Впрочем, то же значение для можно получить и способом, изложенным в конце раздела 15, основанным на чисто термодинамических соображениях.

Можно поэтому записать (115) в виде:

Среднее заполнение состояния — плотность заполнения —

равна (если опустить индекс г) выражению:

и, в соответствии с принципом Паули, всегда меньше единицы.