9. Колебания простых и сложных решеток

Развитые в разделе 8 представления о распространении упругих волн вдоль прямолинейной цепочки однородных атомов легко распространяются на трехмерный кристалл, атомы которого образуют простую объемную решетку. Для упругих волн, образующихся в таком кристалле, также существует закономерная связь между длиной волны и частотой, однако, благодаря анизотропии кристалла, она в общем случае зависит еще от направления распространения, при заданных направлениях и частоте скорость распространения также является функцией длины волны, которая, правда, для больших X, почти постоянна, но резко спадает, как только X становится сравнимой с расстоянием между атомами. Таким образом, для достаточно больших длин волн и трехмерная решетка ведет себя как упругий континуум.

Соотношения в кристаллах со сложной решеткой совершенно иные. Мы это увидим, как только рассмотрим колебания с "бесконечно большой длиной волны", т. е. колебания, в которых все атомы решетки двигаются в одной фазе. В кристалле с простой решеткой это колебание соответствует перемещению всего кристалла, которое, естественно, имеет нулевую частоту. В кристалле, состоящем, например, из двух простых решеток, колебания с бесконечно большой длиной волны не обязательно являются простыми трансляционными движениями, поскольку, при этом,

одна решетка может как целое колебаться относительно другой. Тогда бесконечной длине волны соответствует неравная нулю частота этих колебаний решеток друг относительно друга. То же самое относится и к кристаллам, построенным из большего, чем два, числа простых решеток. Эти колебания называются "оптическими колебаниями" и соответствующие частоты - "оптическими частотами".

Фиг. 42. Одномерная сложная цепочка, состоящая из двух простых. Атомы расположены друг от друга на одинаковых расстояниях.

Можно показать, что кристалл, состоящий из простых решеток для каждой длины волны и направления распространения, обладает в общем случае частотами, которые при некоторых обстоятельствах могут совпадать. Когда длина волны становится бесконечно большой, 3 из этих частот, так называемые акустические, стремятся к нулю. Им соответствуют, пока длина волны велика в сравнении с атомными расстояниями, 3 упругих волны обыкновенной теории упругости, в которой кристалл рассматривается как упругий континуум. Частоты в анизотропном теле в общем случае различны. В изотропном теле же 2 из них (обе поперечные волны) обладают одинаковой частотой, а продольная волна имеет ту же длину волны, но другую частоту.

Остальные частот при увеличении длин волн до бесконечности не обращаются в нуль. Они носят название оптических частот. При некоторых обстоятельствах многие из них могут совпасть.

Поясним это снова на одномерном примере. Линейная цепочка составлена попеременно из атомов массы и массы таким образом, что расстояние между двумя последовательными атомами равна а. Как и в примере раздела 8, каждый атом связан упругими силами с обоими своими соседями. Исследуем распространение упругих волн на этой одномерной модели сложной решетки.

Будем обозначать атомы индексами а таким образом, что

атом массы лежит между и -атомами массы (фиг. 42). есть перемещение атома перемещение атома Сила действия соседних атомов на атом равна

(k - константа упругой связи). Соответствующая сила на атом равна

Таким образом, уравнения движения обоих атомов запишутся в следующем виде:

Если принимает все положительные и отрицательные целые значения, то получается система уравнений, описывающая движение атомной цепочки.

Мы ищем решения, соответствующие распространению упругих волн вдоль линейной решетки, в виде:

Здесь sin и cos ради простоты заменены экспоненциальными функциями. Так как период решетки не а, а 2а, то длины упругих волн равны:

Подставляя (32) в (31), после простых преобразований получим:

Эти линейные относительно однородные уравнения только тогда имеют неравные нулю решения, когда их детерминант равен нулю:

Из этого условия, с учетом (33), получаем зависимость между и которую можно разрешить относительно

Каждому значению к соответствуют два значения так как отрицательные значения не имеют смысла, два значения в то время как для простой одномерной решетки каждому значению соответствовало только одно значение частоты.

Фиг. 43. Зависимость частоты собственных колебаний линейной цепочки, состоящей из двух простых, от длины волны.

Зависимость частоты от длины волны изображена на фиг. 43. По оси абсцисс отложены обратные длины волн, волновые числа, по оси ординат — частоты. В предельном случае т. е. из (35) получаются две возможности:

Одна из двух частот, акустическая, в этом предельном случае равна нулю, в то время как другая стремится к

предельной величине, отличной от нуля. Она является единственной оптической частотой нашей модели. Она соответствует колебанию -решетки относительно -решетки при неизменности расстояний между однородными атомами.