12. Тепловое расширение и теплопроводность кристаллов

Теория теплового расширения и процессы теплопроводности в кристаллах будут рассмотрены лишь в общих чертах. При рассмотрении теплопроводности мы ограничимся, кроме того, изолирующими кристаллами, так как в электрических проводниках теплопроводность тесно связана с электропроводностью, которой мы здесь заниматься не будем.

Тепловое расширение и теплопроводность в изоляторах находятся в тесной связи с тем, что силы в решетке не совершенно упругие, т. е. зависят от расстояния удаления из положения равновесия не линейно, а содержат члены второй и более высоких степеней, влияние которых возрастает с ростом амплитуды колебаний.

В случае теплового расширения можем ограничить наше рассмотрение простой моделью двух атомов, расположенных по соседству. Мы увидим, что точно так же, как среднее

расстояние между ними растет с температурой, повышение температуры кристалла ведет к увеличению» среднего расстояния между атомами, которое проявляется в расширении всего кристалла. Для двух атомов (у которых равновесное расстояние равно а), совершающих колебания вдоль своей соединительной линии, расстояние между ними в некоторый момент времени пусть будет равно Если учитывать только член второго порядка, то эти атомы возвращаются в положение равновесия силой

Первый член с постоянной а пропорционален смещению и представляет упругую силу. Отклонения от закона упругого взаимодействия содержатся во втором члене, обычно значительно меньшем, к которому в некоторых случаях нужно добавлять члены высших порядков. Так как мы рассматриваем проблему только качественно, то мы ограничимся классическим рассмотрением. Для малых амплитуд колебания достаточно первое приближение, т. е. достаточно учитывать упругий член Соответствующая потенциальная энергия равна

Поскольку колебательное движение, которое наша система совершает под влиянием теплового движения, должно все время иметь направления соединительной линии, то ему соответствует только одна степень свободы. При температуре согласно принципу равномерного распределения, на это движение приходится средняя кинетическая энергия . С другой стороны, раз мы ограничиваемся только упругой частью силы, эта энергия равна средней потенциальной энергии, т. е.

или

где есть среднее значение

Среднее значение силы должно быть, конечно, равно нулю (условие равновесия). Поэтому из (38) находим:

Подставляя вместо приближенное значение (39), мы получим с ошибкой величины порядка

Из этого уравнения следует, что среднее расстояние двух атомов друг от друга вследствие теплового движения меняется на величину, пропорциональную абсолютной температуре.

Коэффициент удлинения (удлинение, отнесенное к единице длины и градуса), согласно (40), равен:

Подставляя разумные величины для констант , получаем для числа, совпадающие по порядку величины с наблюдаемыми.

В качестве практического примера рассмотрим случай, когда противоположно заряжены однократными Сила взаимодействия складывается из кулоновской силы притяжения и силы отталкивания, описываемой потенциалом, обратно пропорциональным приблизительно девятой степени расстояьия удаления, так что сила отталкивания пропорциональна

Величина коэффициента пропорциональности у определяется из условия, что при равновесном расстоянии и обе силы равны и противоположны:

Поэтому сила равна:

Подставив мы можем разложить по степеням :

Постоянные в [38] имеют, следовательно, значения:

Подставляя в (41), получаем:

С учетом, что (постоянная Больцмана) и элементарный электрический заряд в электростатических единицах), получи беря для с. значение Это значеьие по порядку величины согласуется с наблюдае ионных коэфициентами удлинения

Обратимся теперь к теплопроводности. Как ьидели, в кристалли решетке могут беспрепятственно распространяться упругие волны, т. е. ззуковые волны с длипа и волн до атомных размеров. Тепловое движение атомов можно тоже рассматривать как наложение таких упругих вслм с амплитудами, возрастающими с температурой. На основании этих представлений следует ожидать, что теплопроводность кристаллов должна Сыто необы айно велика. Если, например, одна часть кристал находилась при те мпературе а другая - при температуре 0, то упругие волны распространились бы из первой части кристалла во вторую со скоростью звука, так что равенство температур устанавливалось бы в доли секунды.

В действительности же теплопроводность изолирующих кристаллов весьма мала и, кроме того, сильно от

температуры. Это тоже происходит вследствие того, что силы в решетке не являются чисто упругими, а содержат квадратичные члены и члены более высоких степеней. При анализе распространения упругих волн мы пренебрегали этим обстоятельством и считали движение атома кристалла чисто гармоническим. Если закон упругого взаимодействия выполняется не строго, то отдельные волны уже не смогут больше накладываться без возмущений и будут ослабляться за счет процесса рассеяния. Их амплитуда будет уменьшаться, а соответствующая энергия перейдет в новые упругие волны с измененной длиной волны, распространяющиеся по всем направлениям Это рассеяние тем сильнее, чем меньше разнится длина волны от атомного расстояния. Кроме того, оно возрастает с ростом амплитуды колебания.

Чтобы учесть это рассеяние, можно определенным образом ввести среднюю длину свободного пробега упругих волн в кристалле. При этом мы схематизируем процесс так, как будто волна после пробега определенного пути внезапно обрывается и на ее месте возникает новая, с другим направлением и частотой. Распространение теплового движения от теплой к холодной области кристалла сильно затрудняется этим механизмом, так как волна должна распространяться не по прямому, а, так сказать, по зигзагообразному пути.

Рассмотренный процесс имеет известное сходство с теплопроводностью в газе. Пока средняя длина свободного пробега велика в сравнении с размерами сосуда, отдельные молекулы могут без столкновений проходить от горячей к холодной стенке и за весьма короткий промежуток времени переносить энергию. Когда же между молекулами происходят частые столкновения, так что длина свободного пробега мала по сравнению с размерами сосуда, атомы газа диффундируют от одной стенки до другой лишь очень медленно, поскольку они движутся теперь не прямолинейно, а зигзагообразно. Вследствие этого и установление температурного равновесия требует значительно большего времени. Однако точная количественная оценка этих соображений о теплопроводности кристаллов весьма затруднительна и до сих пор удовлетворительно никем еще не выполнена.