21. Статистическое распределение электронов в атоме

Простое применение этих соображений независимо друг от друга нашли Томас и Ферми при исследовании распределения электронов внутри атомов.

В случае атомов с многими электронами можно, по крайней мере в первом приближении, вместо исследования движения отдельных электронов рассматривать электронную оболочку как газовое облако, образованное электронами. Это облако связано с ядром электростатическими силами. При обычных температурах этот электронный газ практически полностью вырожден. Оценка порядка величины параметра вырождения (137) приводит всегда к очень большим значениям. Мы можем поэтому распространить на это

электронное облако соображения предыдущего раздела.. Вычислим с их помощью плотность электронного облака как функцию расстояния от ядра.

Электрический потенциал (положительного заряда ядра и электронного заряда) обозначим через Электрон с зарядом имеет в этом поле потенциальную энергию Так как для электронов из (144) следует

Здесь постоянная объединена с произвольной постоянной электрического потенциала.

Уравнение Пуассона, после подстановки плотности заряда — запишется в виде:

Следовательно, потенциал V удовлетворяет дифференциальному уравнению:

Вблизи ядра с зарядом порядковый номер), где отсутствует экранирующее действие электронного облака,

V должно приближаться к граничному значению Отсюда получается граничное условие:

Вторым дополнительным условием является то, что полное число электронов, т. е. объемный интеграл электронной плотности, равно

Потенциал, определяемый (148) с граничными условиями (149) и (150), вычисляется с помощью двух подстановок:

где

Уравнение (148) переходит в новое дифференциальное уравнение

Граничные условия (149) и (150) с помощью этих подстановок преобразуются в

и

Можно легко показать, что это условие тождественно условию

Дифференциальное уравнение (153) с граничными условиями (154) и (155) полностью определяет функцию Она может быть численно определена. Соответствующие значения приведены в табл. 3.

Таким образом, наша задача решена. Электрический потенциал на расстоянии от ядра равен:

Плотность электронов по (146) оказывается равной:

Таблица 3 (см. скан) Численные значения функций

Итак, определяются одной и той же функцией, одинаковой для всех атомов, независимо от порядкового номера.

Метод статистического потенциала нашел широкое применение при расчете различных свойств атома. В первую очередь, следует отметить расчет оптических и рентгеновских термов, исследование образования групп в периодической системе и т. п. Вследствие своей статистической природы этот метод особенно пригоден для представления атомных свойств, меняющихся непрерывно с атомным номером. Свойства, меняющиеся с атомным номером скачкообразно, этим методом передаются хуже.