16. Эйнштейновское вырождение газа

Так как при выводе функций распределения (90) мы совсем не использовали формул (79) и (59), то (90) справедливо независимо от них.

Исследуем свойства газа, подчиняющегося статистике Бозе-Эйнштейна, для которого, помимо (90), справедливо соотношение (59). Если мы в (90) вместо напишем и подставим из (59), то для числа молекул с энергией между получится выражение:

Это соотношение представляет собой закон распределения скоростей в статистике Бозе-Эйнштейна. Оно соответствует закону Максвелла в статистике Больцмана и переходит в него при температурах и малых

плотностях газа, т. е. когда можно пренеоречь — 1 по сравнению с

Константа А определяется таким образом, чтобы полное число молекул равнялись

Если, в частности, 1, отклонения функиии распределения (92) от закона Максвелла малы, и эйнштейновский газ ведет себя подобно идеальному. Мы можем разложить интеграл (93) в ряд по степеням

и для оборвать его на втором члене. Решая получившееся уравнение относительно А и пренебрегая по сравнению с 1, получаем:

Так как каждая из молекул в (92) обладает энергией полная энергия получится интегрированием:

Этот интеграл также разложим в ряд по степеням

Подставляя А из получаем приближенное значение

В первом приближении энергия равна как и в классической статистике. Отклонения от классического закона пропорциональны второму члену в скобках выражения (98), так называемому "параметру вырождения"

возрастает с ростом плотности газа и убывает с температурой. тем больше, чем меньше молекулярный вес газа.

Из (98) можно с помощью общего соотношения: между давлением и кинетической энергией поступательного жепии

без труда вывести уравнение состояния газа

В первом приближении получается снова классическое уравнение идеального газа Если "имеется вырождение, давление падает ниже классического значения. Для обычных газв рассмотренные явления выраждения очень малы и заслоняются другими отклонениями от газового уравнения, происходящими из-за наличия сил Ван-дер-Ваальса и из-за конечных размеров молекул. Наибольшего, отклонения за счет вырождения следует ожидать вследствие его малого атомного веса и низкой температуры; кипения. Так как гелий подчиняется статистике Бозе-Эйнштейиа, вырождение может быть подсчитано по формуле (101). Для параметр вырождения Соответствующее отклонение давления в должно было бы наблюдаться, если бы оно не маскировав лось Другими упомянутыми отклонениями.