19. Статистические свойства газа Ферми

Закон распределения энергии получается из (116), если мы вместо подставим его значение из (111). Число молекул сих пор обозначавшееся кинетическая энергия которых лежит в пределах между равно:

Этой формулой следует заменить закон распределения Максвелла, если вместо статистики Больцмана действует статистика Ферми. Если А очень велико, так что можно пренебречь 1 по сравнению с (малое вырождение), то оба закона совпадают.

Величина А определяется из условия, что общее число молекул равно

Введем вместо общего числа частиц в объеме V плотность

и введем в функцию определяемую интегралом:

тогда;

Вычислим из (118) полную энергию наших молекул:

где новая функция определяется интегралом:

Средняя кинетическая энергия молекулы с учетом равна:

Отсюда с помощью (100) можно вычислить давление:

которое после исключения А переходит в уравнение состояния.

Раньше чем совершить это исключение, мы приведем без доказательства некоторые математические свойства функций

Для справедливы сходящиеся разложения в ряд:

Малым А соответствуют разложения:

Кроме того, справедливо соотношение:

С помощью соотношений

мы вводим третью функцию которая для О 1 и в изображается, соответственно, рядами:

Из (129) можно без труда получить, что:

С помощью функции можно дать в другой форме уравнение состояния газа. Исключая с помощью (129) и (121) А из (125), получим:

Подобным же образом из (124) получается соответствующее выражение для средней, энергии молекулы:

В предельном случае малого вырождения (высокая температура и малая плотность), послё подстановки вместо первого разложения из (130), эти выражения примут вид;

В первом приближении получается, естественно, классическое уравнение состояния и классический закон равномерного распределения энергии Когда наступает вырождение, давление и средняя энергия возрастают по сравнению с классическими значениями. Однако, как и в случае статистики Бозе-Эйнштейна, отклонения для обыкновенных газов очень малы.

С физической точки зрения значительно интереснее случай сильного вырождения. Он находит себе применение в теории электронного газа в металле.

Если в случае сильного вырождения (малая температура, большая плотность) поставим в (132) и (133) второе разложение из (130), то получатся выражения:

Отсюда видно, что при абсолютном нуле давление и средняя кинетическая энергия молекулы нашего газа не равны нулю. Это не будет казаться удивительным, если мы примем во внимание, что вообще в квантованных системах и в состоянии с наименьшей энергией, соответствующем абсолютному нулю, частицы не находятся в покое. Например, электрон в атоме в основном состоянии обладает значительной скоростью. В следующем разделе мы рассмотрим простой способ для обнаружения существования конечного

давления и конечного значения кинетической энергии при. абсолютном нуле.

Степень вырождения здесь также характеризуется значением величины которую мы назовем параметром вырождения

Если то, как следует из (134), вырождение мало, и давление и кинетическая энергия имеют приблизительно классические значения. Если, наоборот, то газ сильно вырожден и, согласно (135) и имеют значения такие же, как при Для обычных газов, при практически осуществимых условиях, параметр вы, о адения очень мал. Однако для электронного вследствие малой массы и высокой концентрации (например в металлах), параметр вырождения может достигать больших значений.

Если число "свободных" электронов в металле порядка числа атомов, что, например, безусловно правдоподобно для металлов группы меди и щелочных, концентрация электронного газа имеет величину порядка Для серебра, например,

Тогда из (137) (взяв вследствие двух возможных ориентаний спина), при (комнатная температура), параметр вырождения равен:

Следовательно, при этих условиях велико в сравнении с ницей; электронный газ сильно вырожден.

Для вырожденного (одноа томного) газа молекулярная теплоемкость имеет не классическое значение а меньшее. При сильном вырождении, согласно (136):

При абсолютном нуле она, в согласии с принципом Нернста, равна нулю и, в первом приближении, возрастает пропорционально температуре. Для электронного газа, вследствие малости массы электрона, множитель пропорциональности! в (138) очень мал. Кроме того, поскольку плотность электронов металла очень велика, составляющей теплоемкости металла, обязанной свободным электронам, и при обычных, температурах можно пренебречь. Для серебра, например, с составляет только 1 60 классического значения на электрон. Эти явления вырождения являются, следовательно, причиной того, что электроны в металле не вносят в удельную теплоемкость доли, соответствующей закону равномерного распределения.

С помощью принципа Нернста вычислим энтропию нашего вырожденного газа. Допустим, что газ нагревается при. постоянном объеме от абсолютного нуля до температуры Тогда, так как для энтропия, согласно принципу Нернста, равна нулю, энтропия для температуры равна

С учетом (124), (129) и (131), отсюда получаем:

Значение А берется из (121).

В предельном случае исчезающего вырождения согласно (126), в первом приближении:

так что из (121) получается выражение для :

и по (139) энтропия равна:

что совпадает с выражением (67).