6. Формула Планка

С помощью формулы (24) определение распределения энергии в излучении черного тела сводится к исследованию соотношений в излучении внутри полости, иначе говоря, к определению функции и

Мы не приходим, однако, к цели при более точном изучении хода этой функции с помощью чисто термодинамических соображений. Этим путем можно вывести закон Стефана-Большмана и закон смещения Вина, в которых выражаются некоторые важные свойства функции Однако чисто термодинамическим путем не удается определить самую функцию. Это возможно только с помощью статистических методов. Попытка решить эту проблему с помощью классической статистики привела к закону излучения Релея-Джинса, который находится в согласии с опытом только в области малых частот, но, в то же время, для плотности суммарного излучения он дает при любой температуре бесконечность.

Непригодность классической статистики побудила Планка искать решение этой проблемы совершенно новым путем. Он предположил, что энергия осциллятора не может принимать любое значение, а должна составлять целое кратное определенного кванта энергии. Это предположение, положившее основу квантовой теории, привело к закону излучения Планка, полностью объяснившему наблюдаемое распределение энергии в излучении полости.

Выведем формулу Планка наиболее простым путем: наполненная излучением полость с полностью отражающими стенками имеет свойства, во многих отношениях совершенно аналогичные упругому телу. В частности, она обладает собственными колебаниями, зависящими от ее формы и величины, причем, как и в упругом континууме, распределение

собственных частот в достаточно большой полости не зависит от ее формы, и их число пропорционально объему Интервал частот между содержит в последнем случае

собственных частот. Каждая из них ведет себя.

в основном, как гармонический осциллятор той же частоты. Мы можем поэтому поле излучения в полости рассматривать как множество гармонических осцилляторов, частоты которых совпадают с частотами собственных колебаний. Средняя энергия этих осцилляторов в тепловом равновесии при температуре дается формулой (18). Полная энергия осцилляторов в интервале частот по (25) равна

С другой стороны, эта энергия равна и Отсюда и получаем для и формулу Планка:

На основании уравнения (24), связывающего плотность излучения в полости с излучательной спосооностью абсолютно черного тела, получим далее:

Ход этой функции для различных температур приведен фиг. 51. (На фигуре в качестве аргумента взята длина волны а не частота

Излучательная способность имеет максимум при частоте которая может быть вычислена из условия, что производная от по при этой частоте должна обращаться в нуль:

Здесь корень уравнения

и равен приблизительно 2,77. Представляя в (28) численные значения, получаем закон смещения Вина;

(кликните для просмотра скана)

который получается и непосредственно из термодинамических соображений. Таким образом, частота пропорциональна абсолютной температуре.

С помощью (29) можно, например, определять температуру звезд. Большинство звезд излучает, примерно, как черное тело. Из наблюдаемого максимума интенсивности можно тогда по формуле (29) вычислить температуру звезды.

В формуле Планка содержится и другой выведенный ранее на основе чисто термодинамических соображений закон излучения, именно закон Стефана-Больцмана. Он утверждает, что полное излучение абсолютно черного тела растет пропорционально четвертой степени температуры. Интегрируя (26) по всем частотам, получим:

и, так как последний интеграл равен

Излучательная способность абсолютно черного тела получается отсюда умножением на и оказывается равной:

что находится в прекрасном согласии с опытом.