ЧАСТЬ III. СТАТИСТИКА И КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ

ГЛАВА 1. СТАТИСТИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ

1. Обобщение принципа Больцмана

Характерная трудность классической статистики заключается в том, что для определения вероятностей необходимо производить произвольное деление пространства скоростей или фазового пространства на ячейки конечных размеров, не имеющих, однако, никакого физического смысла. В этом смысле статистика квантованных систем гораздо лучше согласуется с вероятностными представлениями. Она с самого начала содержит прерывность, предполагающую существование ячеек: отдельные ячейки фазового пространства соответствуют просто различным квантовым состояниям системы.

Основная проблема статистики квантованных систем та же, что и в классической статистике.

Пусть система (атом, молекула,...), имеющая квантовые состояния с энергиями при абсолютной температуре находится в тепловом равновесии с окружающей средой. Какова вероятность найти ее в состоянии с энергией Этот вопрос может быть заменен другим: дано большое число равноценных и независимых друг от друга систем, могущих иметь энергии Какое количество из этих систем в состоянии теплового равновесия при температуре будет обладать энергией

Проблема может быть решена тем же путем, что и задача классической статистики о нахождении распределения большого числа отдельных систем по всем возможным состояниям. Как мы увидим ниже, получается следующий результат.

Если предположить, что все состояния со значениями энергии

являются простыми, т. е. что вырожденные состояния считаются столько раз, сколько соответствует их параметру вырождения, то вероятность того, что система находится в состоянии, пропорциональна

Больцмановский закон распределения классической статистики может быть, таким образом, формально распространен на квантованные системы.

Вывод закона распределения (2) для квантового случая также совершенно аналогичен классическому выводу.

Пусть большое число однородных систем находится между собой в тепловом равновесии. Отдельные состояния с энергиями заняты

системами, т. е. мы принимаем, что систем имеет энергию энергию Совокупность чисел (3) представляет собой, таким образом, распределение систем по энергетическим состояниям Мы должны теперь исследовать, сколькими способами может быть осуществлено это распределение (3). Вероятнейшим распределением будет тогда такое, для которого число возможных осуществлений наибольшее. Как и в классической статистике, здесь принято, что отдельные квантовые состояния равновероятны.

Число II способов осуществления для (3) вычисляется следующим образом. Сначала мы рассматриваем систем в состоянии Имеется возможностей выбрать их из общего числа Из оставшихся систем, приписывается состоянию что может быть осуществлено способами. Чтобы из оставшихся

систем выбрать систем в состоянии существует различных возможностей. Таким образом, мы распределяем все системы. Общее число возможностей для осуществления распределения (3) равно поэтому произведению:

Кроме того, справедливо равенство:

т. е. общее число систем равно а таже равенство

утверждающее, что полная энергия систем равна

Определение вероятнейшего распределения является теперь только математической проблемой, состоящей в нахождении системы чисел удовлетворяющей (5) и (6) и делающей [формула (4)] максимальным. Мы можем поставить требование максимума для вместо . С помощью формулы Стерлинга, справедливой для больших значений аргумента

мы приходим при учете (5) к уравнению:

Чтобы найти максимум для мы используем метод неопределенных коэфициентов, т. е. будем искать абсолютный максимум выражения:

где параметры, не зависящие от соответственно, на основании (5) и (6), — постоянные. Так как оба дополнительных члена не зависят от это выражение имеет те же экстремальные свойства, что и

В месте максимума все частные производные по в отдельности равны нулю, и мы получаем

Вводя вместо а новую постоянную

мы получим отсюда:

причем константы следует определить таким образом, чтобы удовлетворялись (5) и (6).

Величина так же, как и в классической статистике, связана с абсолютной температурой соотношением:

где постоянная Больимана Справедливость соотношения (8) в квантовой теории следует непосредственно из его справедливости в классической статистике, если учесть, что, на основании принципа соответствия, при больших квантовых числах квантово-теоретическое описание системы переходит в классическое. Так как не зависит от квантового числа, уравнение (8), справедливое в предельном случае больших квантовых чисел, должно быть справедливо и при переходе к малым.

Поэтому можно написать:

Для определения А производим суммирование по всем состояниям и, согласно (5), получаем;

Подстановка в дает для числа систем в -том состоянии:

Вероятность нахождения одной из систем в -том состоянии равна поэтому: