7. Теория теплоемкости Дебая

Это несогласие было устранено Дебаем, который исходил из того, что не все атомы в твердом геле колеблются с одинаковой частотой, как это предполагается в теории Эйнштейна, но что тело обладает большим числом, целым «спектром" собственных частот, ото оостомтельство Дебай учел схематически следующим образом.

Сначала пренебрегаете» атомной структурой твердого тела, и оно рассматривается так же, как в классической теории упругости, как упругий континуум. Такое тело колеблется с бесконечным числом частот, которые могут быть вычислены, при известных форме и величине тела, из его модуля упругости и плотности, подоон.) тому, как собственные колебания (т. е. основные колебания и бесконечное число

обертонов) струны могут быть вычислены ее длины и упругих свойств.

Можно показать, что в изотропном теле, со скоростью распространения для поперечных и продольных упругих волн и с об ьемом V, число собственных частот, лежащих в пределах для достаточно больших у равно

Общее число собственных частот континуума, таким образом, оескопечно велико, как этого следует ожидать для системы с бесконечно большим числом степеней свободы. В действительности наше тело состоит только из атомов, оно имеет поэтому только степеней свободы, и число собственных час юг поэтому не больше Мы заключаем отсюда, что часть содержащихся в (10) собственных частот, а именно высоких, в реальном теле, вследствие ее атомной структуры, выпадает. Для упругих волн, длина волны которых сравнима с расстояниями между атомами, справедлив другой закон распространения, так что уравнение (10) теряет свою применимость. Дебай предположил просто, что для каждого тела существует максимальная частота до которой справедливо уравнение и что частот больших, чем вообще не имеется.

Частоту можно вычислить из (10), если учесть, что общее число частот точно равно

Мы увидим, что, несмотря на большие упрощения, температурная зависимость теплоемкости предсказывается этим путем весьма точно.

Тепловая энергия -атомного тела объема V, по Дебаю, получается приписыванием каждой из этих собственных частот доли энергии, следующей из (7), согласно квантовой теории, гармоническому осциллятору той же частоты, и суммированием

по всем частотам меньшим, чем Так как в интервале частот лежит частот, величина полной энергии равна

В связи с (11) мы получаем отсюда, вводя новую переменную

где

имеет размерность температуры и является характеристичной материальной константой, которая вычисляется из упругих постоянных соответствующего вещества с помощью (11) и (13).

Продифференцировав (12) по для теплоемкости нашего тела получим выражение:

через здесь для сокращения обозначена величина дебаевской функции:

совершенно не зависит от специальных свойств рассматриваемого вещества. Они проявляются только в величине "характеристической температуры" .

Особенный интерес представляют предельные случаи Для дает для с помощью интегральной формулы

мы получаем асимптотическое приближение:

Поскольку для грамматома атомная теплота при высоких температурах в согласии с законом Дюлонга и Пти, равна:

Для достаточно низких температур мы находим, напротив:

Следовательно, вблизи абсолютного нуля теплоемкости всех аяементов пропорциональны третьей степени температуры.

Дебаевсхая теория теплоемкости элементов в твердой состоянии прекрасно совпадает с опытом (фиг. 41). Это особенно замечательно в связи с тем, что константа выражения (14) вычисляется непосредственно из упругих констант соответствующих элементов без привлечения каких-либо тепловых величин.

Опыт подтверждает также и возрастание теплоемкостя пропорционально очень анзких температурах, как к следующий факт, что кривые температурных зависимостей для всех элементов могут быть совмещены посредством соответствующего выбора масштаба по оси температур.