4. Средняя энергия осциллятора

Теперь с помощью закона распределения Больцмана вычислим среднюю энергию гармонического осциллятора при температуре

Энергетические уровни осциллятора, как известно, даются соношением где собственная частота осциллятора, а может принимать значения При статистическом и термодинамическом рассмотрениях постоянный член может быть опущен, т. е. энергия может отсчитываться от основного состояния. Значения энергии различных квантовых состояний будут тогда целыми кратными:

Вероятность того, что осциллятор в тепловом равновесии при температуре находится в -том состоянии, согласно (13), равна:

Стоящая в знаменателе этого выражения сумма, так называемая сумма состояний, в этом случае легко определяется, так как ее члены образуют геометрическую прогрессию:

Таким образом, находим:

Отсюда средняя энергия осциллятора равна:

Для вычисления суммы продифференцируем (15) по

Откуда получаем:

Если заменить через то это выражение оказывается идентичным искомой сумме. По подстановке получаем соотношение:

Это уравнение, полученное впервые Планком в своих знаменитых исследованиях по спектру абсолютно черного тела, явилось началом квантовой теории.

Для сравнения напомним, что, согласно классической статистике, средняя энергия гармонического осциллятора равна

При очень высоких температурах, когда выражения (18) и (19) практически совпадают. Знаменатель

в (18) разлагается тогда в ряд по степеням который можно оборвать на втором члене:

При низких температурах, особенно для

наблюдаются значительные расхождения между обеими величинами (фиг. 49). Для макроскопических осцилляторов эти расхождения лежат при недостижимо низких температурах; напротив, для атомных осцилляторов они играют существенную роль уже при обычны» температурах.

Интересное применение формула (18) находит при вычислении теплоемкости твердых тел (см. разделы 6 и 7). По Дебаю, температурная зависимость теплоемкости полностью объясняется предположением, что колебания атомов вокруг положений равновесия следует рассматривать как колебания гармонического осциллятора. Другим приложением является планковский расчет распределения энергии в излучении абсолютно черного тела. Именно здесь впервые было введено в физику понятие кванта действия.

Фиг. 49. Зависимость средней энергии гармонического осциллятора от температуры по классической и квантовой теории