15. Статистика Бозе-Эйнштейна

Как мы видели, в статистике Бозе-Эйнштейна распределение молекул полностью определяется заданием чисел заполнения отдельных квантошх состояний поступательного движения. Действительно, так как частицы принципиально неразличаемы, каждое такое распределение осуществимо единственным образом. Оно представляет собой, таким образом, простое состояние, имеющее статистический вес 1. Рассчитаем закон распределения газа, состоящего из молекул, подчиняющихся статистике Бозе-Эйнштейна.

Число состояний молекулы поступательного движения при которых кинетическая энергия имеет значения между получается из (59). Чем больше объем сосуда, тем гуще лежат энергетические уровни. Если сосуд имеет микроскопические размеры, уровни лежат так густо, что их распределение можно рассматривать как непрерывное.

Фиг. 54.

Простейший способ определения статистического распределения заключается в следующем. Ряд энергетических значений которые может принимать отдельная молекула, подразделяется на небольшие области вообще от до Отдельные области могут быть не одинаковы по величине, однако они должны быть малы по сравнению со средней энергией молекулы и, тем не менее, содержать большое число квантовых состояний Поступательного движения, которым соответствует достаточно много молекул. Пусть область между содержит квантовых состояний. Так как можно рассматривать как дифференциал, согласно с достаточной точностью определяется по формуле:

Рассмотрим произвольное распределение молекул, при котором молекул имеют энергию в пределах между молекул — в пределах между и вообще молекул — энергию в пределах между и исследуем, прежде всего, сколькими способами может быть осуществлено это распределение

Для этого определим число возможностей распределения молекул по квантовым состояниям в области от до Для частиц со статистикой Бозе-Эйнштейна каждое решение уравнения

представляет такую возможность, так как мы можем рассматривать непосредственно как число заполнения -того квантового состояния в области до Уравнение (81) имеет

решений. Число возможностей осуществления распределения (80) равно произведению отдельных вероятностей

Распределение, для которого имеет наибольшую величину, является наивероятнейшим.

Числа заполнения зависят друг от друга, так как полное число и полная энергия молекул постоянны:

(Вследствие малости отдельных областей всем содержащимся в них молекулам приписывается энергия

Так как, согласно предположению, большие числа, то мы можем снова применить приближенную формулу Стерлинга и пренебречь единицей по сравнению с Таким образом, получим:

Так как максимум лежит в том же месте, что и максимум 11, то можем определить последний, приравнивая нулю производную от по Условия (84) и (85) мы учтем вычитанием из (86) выражений а где не зависят от и вначале являются неопределенными постоянными. Получившееся выражение отличается от только независящими от членами и поэтому имеет те же максимальные свойства. Положение максимума определяется уравнением

Отсюда, после подстановки вместо а. новой постоянной находим:

Так как обе постоянные определяют из условий (84) и (85), наша задача тем самым решена.

Из (87) определяется также среднее заполнение квантового состояния в области между (плотность ваполнения). Мы получим, если опустим индекс

Выражения (87) и (88) отличаются от соответствующих выражений статистики Больцмана только членом — 1 в знаменателе. Для очень больших при которых очень велико, можно пренебречь 1, так что (88) после подстановки

непосредственно переходит в закон Больцмана.

Так как есть константа, независящая от должно быть справедливо всегда и, следовательно, выражения (87) и (88) можно записать в виде:

Постоянная А выбирается таким образом, чтобы сумма была равна полному числу молекул

Другой путь к определению заключается в вычислении энтропии с помощью уравнений (86) и (87) и энергии на основе (85) и (87) и в использовании термодинамического соотношения

что также приводит к выражению (89).