9. Статистическое толкование термодинамических величин
Если известны энергетические уровни системы, то с помощью закона Бодьцмана, распространенного на квантованные системы, можно вычислить и термодинамические свойства этой системы. В дальнейшем мы вычислим, в зависимости от положения энергетических уровней, энтропию 
и свободную энергию 
газа, состоящего из независящих друг от друга одинаковых атомов или молекул с энергетическими уровнями 
Будем отсчитывать энергию от основного состояния, т. е. будем считать, что
Пусть термы расположены в порядке возрастания их энергии. Будем считать, что взаимным возмущением атомов можно пренебречь, так что заполнение уровней может вычисляться с помощью закона Больцмана.
При рассмотрении нашего газа будем исходить из статистической суммы:
которую можно вычислить, если известны значения 
производная по 
равна:
Число 
систем в состоянии у, согласно 
равно:
Поскольку каждая из этих систем имеет энергию 
суммарная энергия состояния 
равна 
Полная энергия газа из 
атомов, таким образом, имеет вид:
Подставив
и учитывая (47), получим соотношение
выражающее тепловую энергию нашего газа как функцию величины 
а следовательно, температуры 
Вычислим энтропию газа 
Так как газ не совершает внешней работы, то
С помощью соотношений (48) и (49) получим:
Наконец, находим:
Мы получили выражение для энтропии из ее термодинамического определения (50). Мы могли бы также положить в основу больцмановское соотношение между энтропией к вероятностью:
Тогда нужно было бы с помощью формулы Стирлинга 
числить логарифм выражения (4) для вероятности и подставить 
согласно (11). Однако здесь это вычисление мы 
будем проводить.
Свободная энергия выводится из (49) и (51):
Аналогично, с помощью статистической суммы 
можно выразить и другие термодинамические величины.
