7. Статистическое равновесие между атомами и излучением полости

Пусть при температуре внутри полости в равновесии с черным излучением находится атом, имеющий энергетические уровни (для определенности пусть Тогда возможны следующие два процесса:

а) Если атом находится в состоянии он может испустить квант с частотой

Если атом находится в состоянии он может перейти в состояние с поглощением кванта

В тепловом равновесии оба эти процесса должны происходить одинаково часто. Обозначая через вероятности нахождения атома в состоянии соответственно, согласно закону Больцмана, будем иметь:

Вероятность того, что атом из состояния перейдет за единицу времени в состояние за счет поглощений кванта », пропорциональна плотности в полости излучения с частотой т. е. равна где В — пока неизвестный множитель пропорциональности. Вероятность процесса равна произведению вероятности перехода на вероятность нахождения атома в состоянии т. е. равна:

Если атом находится в состоянии он может перейти в состояние как самопроизвольно, так и под воздействием излучения. Вероятность этого перехода мы полагаем равной поэтому выражению:

Второй член представляет собой вероятность "вынужденного излучения", наличие которого нужно предположить, так как иначе было бы невозможно установление равновесия. Вероятность процесса -равна произведению (33) на вероятность нахождения атома в состоянии т. е. имеет вид:

В статистическом равновесии вероятность процесса должна быть равна вероятности обратного ему процесса а):

Используя (32), отсюда получаем:

Если в этом соотношении для и подставим планковское выражение, то найдем:

Это соотношение должно быть справедливо для любой температуры, что возможно только в том случае, если между постоянными существуют следующие соотношения:

Эти важные соотношения между величинами впервые полученные Эйнштейном, дают сведения относительно связи между вероятностью А спонтанных переходов коэфициентом поглощения В атома в состоянии необходимого для излучения с частотой

Эти соотношения показывают, кроме того, что действие излучения состоит не только в поглощении с ереходом в высшее состояние. Как указано выше, под его воздействием может также произойти "вынужденное" испускание, при котором атом переходит из состояния в состояние Вероятности перехода для этих двух процессов равны.

Вместо вывода этих соотношений из формулы Планка можно было бы итти обратным путем. Именно, можно вывести (35) и (36) непосредственно из квантовой теории излучения Дирака, без применения статистических соображений, и таким образом притти к (34), которое после подстановки значений переходит в

Решая это соотношение относительно и получим формулу Планка (26).