17. Бозевский газ световых квантов

Гораздо показательнее, чем вырождение газа, является применение статистики Бозе-Эйнштейна к световым квантам (фотонам). Оно позволяет получить закон излучения Планка, который основывается на корпускулярных свойствах световых квантов.

Энергия и импульс светового кванта, как известно, определяются соотношениями:

Элемент объема пространства импульсов для светового кванта с частотой между поэтому равен:

Если мы примем, что наши световые кванты заключены в полости с объемом V, то этому элементу объема пространства импульсов будет соответствовать элемент объема фазового пространства:

Будем рассматривать световые кванты как молекулы газа и разделим фазовое пространство на элементарные ячейки величины Области частот соответствует

ячеек. Так как для каждого светового кванта возможны два направления поляризации, ячейки следует считать дважды, и, окончательно, полное число состояний в интервале частот оказывается равным величине:

Вычислим распределение этих световых квантов по возможным частотам, пользуясь методом, аналогичным примененному в разделе 15 для вывода функций распределения

(90). При этом примем, что наш газ световых квантов находится в тепловом равновесии в объеме V и что он подчиняется статистике Бозе-Эйнштейна.

Разделим весь интервал частот между и на последовательные малые части:

каждая из которых заполнена количеством

световых квантов. Число соответственно возможностей осуществления определенного распределения (105) получается точно таким же образом, как (83), соответственно (86), в разделе 15. Нужно, согласно (103), для газа световых квантов

использовать выражение:

Для наивероятнейшего распределения (105) величины соответственно, имеют наибольшее значение. Мы приходим снова к условию, что производные от (107) по должны в отдельности равняться нулю. Причем здесь взаимно не независимы, так как они должны удовлетворять условию, аналогичному (85), выражающему постоянство полной энергии:

Для световых квантов не существует условия, соответствуюшего (84) (постоянство числа частиц). В противоположность атомам или электронам, число световых квантов может увеличиваться или уменьшаться.

Чтобы найти наивероятнейшее распределение газа световых квантов или, соотьетств максимум нужно,

следовательно, приравнять нулю производные по от выражения Здесь параметр, независящий от следует определить таким образом, чтобы выполнялось условие (108):

Отсюда следует:

И, если, снова положить (что было обосновано в разделе 15) и подставить то окончательно получится:

Каждый из световых квантов имеет энергию Полная энергия приходящаяся на интервал частот равна, следовательно (индекс опускаем), выражению:

Есда учесть, что

то это выражение совпадает с соотношением Планка (26) раздела 6.