20. Свойства сильно вырожденного газа

Имея в виду теорию металлов, в этом разделе мы исследуем свойства сильно вырожденного газа, подчиняющегося статистике Ферми.

Мы видели, что давление и кинетическая энергия при низких температурах стремятся не к нулю, а к конечному предельному значению. Это можно представить себе наглядно следующим образом. Если в объеме V находится вначале только одна частица, то при абсолютном нуле она будет находиться в самом низком квантовом состоянии поступательного движения. Вторая появляющаяся частица, согласно принципу Паули, может занять только следующее, более высокое, состояние движения. По той же причине третья частица может занять при абсолютном нуле только третье состояние, а частица только состояние. Когда появляются новые частицы, занимаются все более и более высокие состояния, и средняя кинетическая энергия вырожденного газа растет с ростом плотности. А благодаря ударам о стенки газ поэтому оказывает отличное от нуля давление.

При абсолютном нуле каждая молекула находится в наиболее низком возможном состоянии. Поэтому в газе с частицами все состояния, от состояния с нулевой кинетической энергией до заполнены, а все состояния с более высокой энергией — свободны.

Сделаем это наглядным с помощью модели в пространстве импульсов. Ячейки пространства импульсов имеют объем Если основное состояние наших частиц -кратно вырождено, каждой ячейке соответствует состояний.

Плотность состояний (число на единицу объема пространства импульсов) поэтому равна:

При абсолютном нуле эти состояния поступательного движения занимаются в порядке возрастания их кинетической энергии. частиц распределяются, следовательно, в пространстве импульсов равномерно с плотностью внутри шара с центром в нулевой точке, содержащего как раз состояний. Радиус ртах этого шара в точности равен наибольшей величине импульса нашей частицы. Чтобы вычислить нужно учесть, что шар объема согласно (140), содержит

состояний. Решение относительно дает:

а отсюда:

зависят, естественно, от т. е. от концентрации частиц. В случае, например, серебра максимальная скорость свободных электронов при абсолютном нуле равна

На фиг. 55 этот закон распределения скоростей для различных температур нанесен графически. По оси абсцисс отложена величина импульса по оси ординат — плотность заполнения в пространстве импульсов, которая, конечно, никогда не может быть больше Для эта плотность, как мы видели, постоянна и равна вплоть до значения ртах, где она внезапно падает до нуля. Это распределение

изображено на фиг. 55 прямоугольником. При несколько более высокой температуре это спадание распределения при Рта происходит более плавно, так как некоторые частицы переходят в более высокие состояния. При дальнейшем повышении температуры, число таких частиц возрастает, так что функция распределения получает вид, обозначенный на фиг. 55 индексом Наконец, при очень высоких температурах функция распределения переходит в классическое максвелловское распределение.

Фиг. 55. Плотность заполнения пространства импульсов в зависимости от импульса для вырожденного газа при различных температурах.

Интересно рассмотреть поведение нашего газа при (т. е. при полном вырождении) в том случае, когда на частицы действует внешняя сила. Сила описывается меняющимся в пространстве потенциалом Тогда, согласно статистике Больцмана, в областях меньшего потенциала возникло бы уплотнение газа, причем такое, что плотность всюду была бы пропорциональна Исследуем, как будет выглядеть этот закон для полностью вырожденного газа.

Формула (142) дает наибольшую величину импульса для полностью вырожденного газа в зависимости от плотности Наибольшее значение кинетической энергии получается отсюда равным:

Наибольшее значение полной энергии частицы в точке с плотностью равно сумме кинетической энергии и потенциальной энергии

Если существует равновесие, должно иметь одинаковое значение во всех точках. Из (143) следует соотношение, определяющее искомое распределение плотности:

Значение постоянной определяется из условия, что полное число молекул должно быть равно

причем интеграл распространяется на весь объем газа. Формула (144) справедлива только для областей, в которых Для выражения для было бы мнимым, а кинетическая энергия соответствующих частиц — отрицательна. Так как это невозможно, то в этом случае