ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

ГЛАВА I. МЕТОД КООРДИНАТ

§ 1. Направленные отрезки.

Понятия отрезка и его длины известны из элементарной геометрии. Отрезок есть часть прямой, ограниченная двумя точками. Длина отрезка есть положительное число, получаемое измерением этого отрезка с помощью некоторого заранее выбранного отрезка — единицы масштаба. Отрезок, ограниченный точками А и В, а также его длину, обозначают АВ или ВА.

Во многих вопросах математики и физики имеет значение направление отрезка: например, если отрезок рассматривается как путь, который проходит движущаяся точка.

Чтобы охарактеризовать направление отрезка, одну из двух ограничивающих его точек принимают за начало отрезка, а другую — за его конец; направлением отрезка считают направление от начала к концу. Отрезок, на котором указано направление (т. е. сказано, какая из двух граничных точек считается началом и какая — концом), называется направленным отрезком.

Условимся обозначать направленный отрезок двумя буквами с чертой над ними, помещая на первом месте букву, указывающую начало отрезка. Так, например, направленный отрезок, для которого точка А является начальной, а В—конечной, будем обозначать АВ. Заметим, что направленные отрезки АВ и ВА различны, так как направления их противоположны.

Рис. 1.

Если рассматривать направленные отрезки, расположенные на одной прямой, то их направления можно характеризовать знаками Для этого одно из двух противоположных направлений этой прямой (безразлично какое) назовем положительным, а другое — отрицательным. На чертеже положительное направление условимся отмечать стрелкой (на рис. 1 направление слева направо принято за положительное). Прямая, на которой выбрано положительное направление, называется осью.

Длина направленного отрезка, расположенного на оси, взятая с определенным знаком, называется величиной направленного отрезка оси, при этом знак выбирается положительный, если направление отрезка совпадает с положительным направлением оси, и отрицательный, — если направление отрезка противоположно положительному направлению оси. Так, например, величина направленного отрезка АС, изображенного на рис. 1, положительна, а величина отрезка СВ — отрицательна. Очевидно, длина направленного отрезка равна модулю его величины. Условимся длину направленного отрезка АВ обозначать через АВ, а его величину символом вел АВ.

Из определения величины направленного отрезка оси следует, что величины отрезков АВ и ВА отличаются знаком:

Замечание. В дальнейшем нам придется ввести в рассмотрение и такой направленный «отрезок», начало и конец которого совпадают. Направление этого отрезка можно выбирать произвольно. Длина, а следовательно, и величина его равна нулю. Такие отрезки мы будем называть нулевыми.

Рис. 2.

Возьмем на некоторой оси три точки А, В, С и выясним, чему будет равна сумма величин направленных отрезков АВ и ВС. Мы сейчас покажем, что при любом расположении точек А, В и С на оси сумма величин направленных отрезков АВ и ВС будет равна величине направленного отрезка АС:

т. е. сумма величин направленных отрезков АВ и ВС, расположенных на оси так, что конец первого из них является началом второго, равна величине направленного отрезка АС, началом которого является начало первого, а концом — конец второго направленногоотрезка. Для доказательства равенства (1), предположим сначала, что точка В располагается между точками А к С (рис. 2).

Рассматривая направленный отрезок как путь, проходимый движущейся точкой, мы можем сказать, что в этом случае подвижная

точка, пройдя путь АВ, продолжает движение по пути ВС в том же направлении. Тогда длина отрезка АС, очевидно, равна сумме длии отрезков АВ и ВС, а величины всех трех направленных отрезков имеют одинаковые знаки, так как все три отрезка одинаково направлены. Следовательно,

Таким образом, если точка В лежит на отрезке АС, то равенство (1) справедливо.

Допустим теперь, что точка В располагается вне отрезка АС, либо на продолжении отрезка за точку С (рис. 3), либо на продолжении его за точку А (рис. 4).

Рис. 3.

Рис. 4.

В каждом из этих случаев подвижная точка, пройдя путь АВ, продолжает движение по пути ВС в противоположном направлении. Ясно, что теперь длина отрезка АС будет равна разности длин двух других отрезков — рис. 3, либо рис. 4).

Очевидно, что направление отрезка АС будет совпадать с направлением того из отрезков АВ и ВС, который имеет большую длину (с направлением отрезка АВ на рис. 3 или с направлением отрезка ВС на рис. 4). Поэтому величина отрезка АС будет иметь тот же знак, что и величина более длинного отрезка.

Следовательно, величина направленного отрезка АС может быть найдена по правилу сложения относительных чисел вел АВ и вел ВС.

Таким образом, и при любом расположении точки В вне отрезка АС будем иметь:

Остается заметить, что равенство (1) будет справедливо и в том случае, когда некоторые точки будут совпадать. Читатель легко проверит это сам. Например, если будут совпадать точки А и С, то

но и Следовательно, равенство (1) будет справедливо.

Замечание. Еслн бы в равенстве (1) стояли не величины, а длины направленных отрезков, то оно было бы справедливо только в том случае, когда точка В лежит на отрезке АС, и теряло бы силу при любом другом расположении точки В.

Пользуясь равенством (1), легко показать, что при любом числе точек и произвольном их расположении на оси мы будем иметь:

т. е. сумма величин направленных отрезков, для которых начало каждого следующего отрезка совпадает с концом предыдущего, равна величине направленного отрезка, начало которого совпадает с началом первого, а конец — с концом последнего из направленных отрезков.