Глава 11. ПОСТРОЕНИЕ КРИВЫХ ПО ТОЧКАМ С ПОМОЩЬЮ СПЛАЙНОВ
11.1. ВВЕДЕНИЕ
При решении многих прикладных задач, предусматривающих построение кривых по точкам, может потребоваться внести изменения в одну часть кривой, не затрагивая другие. Мы будем считать схему локальной, если локальные изменения не распространяются на другие части изображения. Очевидно, что многочлены, рассмотренные в разд. 10.2, свойством локальности не обладают, а многочлены Безье обладают лишь квазилокальностью. Изменение расположения или кратности одной из точек-ориентиров требует пересчета всей кривой, даже несмотря на то, что указанные изменения могут слабо влиять при удалении от соответствующей точки-ориентира. Кусочно-полиномиальные функции несомненно являются средством реализации локальных изменений. Сначала рассмотрим такие функции применительно к представлению кривой в виде 
а затем — применительно к параметрическому
представлению. В общем виде кусочно-полиномиальные функции представляются следующим образом:
Точки 
которые делят сегмент 
на к подсегментов, обычно называют точками склеивания, а точки воспроизводимой кривой, соответствующие этим значениям х, — узлами. Для удобства будем использовать обозначения 
Функции 
представляют собой многочлены со степенью не выше т. Условия непрерывности в точках склеивания задаются второй группой уравнений, в которых 
обозначает 
и 
- 
-ю производную 
. Иногда отсутствие ограничений указывается заданием 
При 
речь идет о непрерывной функции, на производные которой никаких ограничений не наложено. Если 
то сегмент 
покрывается одним многочленом, и, следовательно, 
— максимальное число ограничений, порождающих нетривиальную кусочно-полиномиальную функцию. Случай, - когда 
имеет особое историческое и практическое значение, поскольку именно для обозначения соответствующих кусочно-полиномиальных функций был впервые предложен термин «сплайн».
Введение в теорию сплайнов представлено в разд. 11.2, а основные сведения о сплайнах — в разд. 11.3. В разд. 11.4 и 11.5 обсуждаются соответствующие вычислительные проблемы, а в разд. 11.6 и 11.7 демонстрируются преимущества использования сплайнов в машинной графике.
