Глава 13. ПРИБЛИЖЕНИЕ И ВОСПРОИЗВЕДЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
13.1. ВВЕДЕНИЕ
Воспроизведение поверхности трехмерного объекта играет важную роль при использовании систем обработки графической информации для решения таких прикладных задач, в которых пользователю необходимо располагать различными видами группы твердых тел. Приближение поверхности требуется осуществлять и в случаях, когда объекты задаются множествами точек. Приближение и воспроизведение поверхностей представляет интерес и для других прикладных областей. В машинной картографии и географии работа ведется с моделями участков местности, которые представляются математическими описаниями поверхностей. В обработке изображений и распознавании образов поверхности используются при анализе изображений, по крайней мере, двумя способами. Во-первых, изображение можно рассматривать как поверхность, используя значения яркости в качестве третьей координаты. Во-вторых, можно рассматривать поверхности объектов, присутствующих на изображении. В этом случае задача сегментации (см. гл. 4) сводится к идентификации групп пикселов, являющихся изображениями поверхности.
Поверхности, встречающиеся во всех этих областях, слишком сложны для того, чтобы их можно было описать единственным уравнением во всей их области определения, и, следовательно, возникает потребность в кусочной аппроксимации поверхностей. Простейшими являются кусочно-линейные аппроксимации, в частности построенные посредством использования многогранника с треугольными гранями. Пусть 
— множество точек, расположенных на поверхности 
В таком случае каждая тройка точек определяет плоскость и надлежащий выбор троек обеспечивает аппроксимацию поверхности 
многогранником. К сожалению, во многих случаях число треугольников, необходимое для приемлемой аппроксимации,
оказывается слишком большим и поэтому приходится обращаться к поверхностям высших порядков. Вследствие этого возникают проблемы представления таких кусочных поверхностей.
Одно из решений этой проблемы предусматривает задание на поверхности множества кривых и затем определение с помощью этих кривых интерполяционных конечных (участков) поверхностей, ограниченных соответствующими кривыми. Такие методы обсуждаются в разд. 13.4-13.6. Другой способ предусматривает использование точек-ориентиров или плоскостей-ориентиров таким образом, как это делалось на плоскости применительно к кривым Безье и 5-сплайнам. Эти методы обсуждаются в разд. 13.7 и 13.8. В разд. 13.2 и 13.3 представлены некоторые из основных формул, используемых при изучении всех поверхностей такого рода. Воспроизведению поверхностей посвящен разд. 13.9, причем основное внимание уделено штриховке.
Важным аргументом при выборе способа математического описания для представления поверхности служит простота решения некоторых важных задач машинной графики, например определения пересечения двух поверхностей. Очевидно, что для этого больше всего подходят плоскости, однако при большом числе конечных участков поверхности, ограниченных замкнутыми кривыми, общий объем вычислений может оказаться значительным. Поверхности, построенные с помощью 
-сплайнов, обладают свойством выпуклой оболочки (см. утверждение 11.2), что позволяет определить плоскости, ограничивающие расположение поверхности. Число таких плоскостей может оказаться значительно меньше, чем необходимо при аппроксимации многогранниками, и, следовательно, задачи на пересечение и подобные им легче решать, оперируя этими плоскостями. Дополнительные затраты, связанные с определением точного пересечения, часто очень малы. В самом деле, большинство выпуклых оболочек вообще не пересекаются, и, следовательно, отсутствует необходимость проверять, не пересекаются ли соответствующие поверхности. При составлении карт местности, ориентированных на машинную картографию, очевидно, целесообразно использовать плоскости, поскольку требования к гладкости изображения не очень высоки.
