4.4.1. СЕГМЕНТАЦИЯ НА ОСНОВЕ СРЕДНЕГО УРОВНЯ ЯРКОСТИ

Один из критериев однородности области основывается на оценке максимальной разности значения яркости отдельного пиксела и среднего значения яркости, вычисленного по соответствующей области. Пусть для некоторой области R размером N

В таком случае область называется однородной по порогу Т, если выполняется условие

Это определение однородности можно считать эвристическим, однако, введя некоторые допущения, для него можно дать и теоретическое обоснование. Приводимые ниже рассуждения иллюстрируют многие проблемы, возникающие при выделении области путем наращивания; этот анализ можно рассматривать в качестве модели для исследования других критериев однородности области.

Допустим, обрабатываемые нами изображения класса 1 на самом деле представляют собой изображения класса 2, на которые наложен гауссовский белый шум с нулевым средним значением.

Отсюда следует, что вероятность наличия в пикселе Р шумовой составляющей определяется выражением

где а — среднее квадратическое отклонение шума. Поскольку мы считаем шум белым, значения вероятности абсолютно не зависят от местоположения пиксела Р. В физическом смысле это означает, что на все пикселы шум воздействует одинаково. Вероятность отличия значения яркости пиксела Р от его среднего значения яркости более чем на величину х определяется выражением

Наличие множителя 2 в этом выражении обусловлено тем, что мы рассматриваем как отрицательные, так и положительные отклонения от среднего. Правую часть выражения (4.36) называют интегралом вероятности ошибки и обозначают где В большинстве сборников математических таблиц приводятся значения этой функции и некоторые из них мы воспроизводим в табл. 4.1.

Таблица 4.1

Некоторые значения интеграла вероятности ошибки

Если область является однородной, то оптимальная оценочная функция для значения яркости определяется выражением (4.2а) (см. задачу 4.4). Тогда отклонения значений яркости пикселов от значения оценки будут определяться исключительно шумом и поэтому вероятность невыполнения неравенства (4.26) для какого-то пиксела указывается выражением (4.36), если (В этом случае она задается значениями интеграла вероятности ошибки Например, при в неравенстве (4.26) вероятность невыполнения этого условия для некоторого пиксела составляет 4,6%, а при — приблизительно 0,3%. Значение этой вероятности будем обозначать Поскольку вероятность выполнения условия (4.26) для отдельного пиксела равна а область, включает пикселов, то не выделить однородную область мы можем лишь с вероятностью Для значений много меньших эта вероятность составляет приблизительно Выбрав пороговое значение Т равным утроенному среднему квадратическому отклонению шума, для квадратной области

размерами 16x16 (256 пикселов) вероятность отказа при проверке области на однородность получаем равной 54% (при использовании точной формулы). При выборе порога для Т равным четырехкратному значению среднего квадратического отклонения указанная вероятность составляет всего 2,5%, что вполне приемлемо при решении реальных задач. (В последнем случае и точная, и приближенная формулы дают близкие результаты — 0,0253 и 0,0256 соответственно.)

Зачисление однородной области в неоднородные — не единственная из возможных ошибок, поэтому теперь необходимо оценить вероятность отнесения неоднородной области к однородным. В последнем случае различия значений оценки и яркостей области определяются также различиями значений яркости областей изображения класса 2. Пусть — указанные значения и

— доля пикселов области, истинное значение яркости которых равно Если соответствующая область достаточно велика для того, чтобы можно было при определении среднего значения пренебречь влиянием шума, то среднее значение равно Если истинное значение яркости пиксела равно то разность между этим значением и оценкой среднего значения выглядит следующим образом:

Итак, событие, состоящее в том, что наблюдаемое значение яркости пиксела отличается от среднего значения более чем на Т, может иметь место, если оно отличается от истинного значения яркости на причем вероятность любого из двух последних событий определяется как

Таким образом, представляет собой вероятность невыполнения неравенства (4.26) для наблюдаемого значения яркости пиксела, истинное значение яркости которого равно Вероятность того, что ни для одного пиксела подобного нарушения условия (4.26) не происходит, определяется следующим выражением:

где вероятность определяется аналогично вероятности Итак, представляет собой вероятность отнесения области к однородным, тогда как в действительности она таковой не является. Очевидно, если значение мало по сравнению с пороговым значением Т то вероятность близка вероятности Если то же самое справедливо для вероятности то вероятность приближенно равна т. е. вероятности отнесения к однородной области, которая в действительности является однородной. Другими словами, обнаружение однородности области оказывается некоторым случайным событием. Ситуации, в которых оказывается малой, обычно возникают в случаях, когда

рассматриваемая область состоит почти исключительно из пикселов одного характера, и, следовательно, ошибка отнесения такой области к однородным не столь серьезна. Если, с другой стороны, в рассматриваемой области представлены примерно в равной мере пикселы обоих типов, т. е. если так что

то мы предпочли бы, чтобы вероятность отнесения такой области к однородным была очень малой. Это так, если абсолютное значение разности предполагается много большим среднего квадратического отклонения шума, так как в этом случае значение будет сравнимо с пороговым значением Т. При выполнении этих условий аргумент первого члена суммы в выражении (4.5) оказывается близким к нулю и, следовательно, соответствующая вероятность близка к 1. Второй член этой суммы имеет аргумент, равный среднему квадратическому отклонению, взятому с высокой степенью кратности, и, следовательно, соответствующая вероятность оказывается близкой к нулю. В результате введения этих допущений вероятность составляет приблизительно 0,5 и можно показать, что вероятность имеет то же самое значение. В таком случае вероятность . В результате невыполнение условия (4.26) влечет с вероятностью признание области неоднородной. При эта вероятность очень близка к 1.