14.4.1. ПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЯМОЙ

Утверждение 14.1. Пусть X, Y и координаты точки Р, а — концевые точки отрезка прямой Если значения положительны, то точка Р расположена справа от прямой, определяемой отрезком прямой в том и только том случае, когда выполняется неравенство

Доказательство. Левая часть неравенства (14.16) равна значению определителя (14.14), равного 0, если точка Р лежит на прямой, в которую входит отрезок прямой Поскольку определитель задает уравнение некоторой прямой, то точкам, расположенным по разные стороны этой прямой, соответствуют разные знаки этого определителя. Таким образом, для завершения доказательства необходимо лишь убедиться в том, что неравенство (14.16) выполняется для некоторой точки, расположенной справа от отрезка прямой Если прямая не горизонтальна, то можно выбрать точку с координатами

Далее находим, что после деления на левая часть неравенства (14.16) принимает вид

Это выражение равно . Его значение отрицательно согласно допущению в порядке концевых точек. Если прямая горизонтальна, аналогичные преобразования выполняются для точки с координатами

При переходе от однородных координат к абсолютным утверждение 14.1 сохраняет силу, если принять . В частности, точка Р расположена справа от прямой, если выполняется неравенство

Воспользовавшись векторной записью (14.10), можно представить неравенства (14.16) и в более компактной форме; кроме того, определитель матрицы со столбцами а, b и с, будем обозначать как . Преимущество такой записи заключается в том, что ее можно использовать и с абсолютными координатами, если приравнять третью координату всех векторов единице. В таком случае неравенство (14.16) [или принимает вид

Определения векторов очевидны.