13.2. НЕКОТОРЫЕ ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ПОВЕРХНОСТЕЙ
В общем случае поверхность можно описывать с помощью одного из следующих уравнений:
Параметрическая форма задания поверхности удобнее всего в прикладных задачах машинной графики и в нашей книге она
будет использоваться чаще всех остальных. При решении многих задач полезно располагать уравнением нормали к поверхности в точке. Последнее можно получить с помощью алгебраической формы задания поверхности. Поскольку 
— константа, ее полный дифференциал равен нулю, так что
Величины 
обозначают вариации координат вдоль поверхности и поэтому можно считать, что они определяют вектор, являющийся касательной к рассматриваемой поверхности. В таком случае уравнение (13.2) можно интерпретировать как скалярное произведение вектора, компонентами которого служат частные производные, на вектор, являющийся касательной к рассматриваемой поверхности. Поскольку это произведение равно нулю, нормаль к поверхности параллельна первому вектору, (Вспомните обсуждение, проведенное нами в подразд. 10.7.1).
Пример 13.1. Задано уравнение плоскости 
Нормали к этой плоскости параллельны вектору 
.
Пример 13.2. Уравнение сферы с центром в начале координат имеет вид 
Нормаль в каждой точке сферы 
параллельна вектору 
При рассмотрении параметрического представления поверхностей будет использоваться следующее обозначение:
Аналогичные обозначения вводятся и для других переменных. Поскольку векторы 
являются касательными к поверхности, то, если 
— нормальный вектор, справедливы уравнения
С помощью подстановки можно показать, что эти уравнения имеют решения:
Поскольку в системе уравнений (13.4) число неизвестных больше числа уравнений, ее решение неоднозначно и необходимо позаботиться о том, чтобы исключить все общие множители из правых частей уравнений (13.5). Эта мера необходима в связи с тем, что уравнения (13.4) определяют направление градиента, но не его значение. Этим обстоятельством можно воспользоваться при записи уравнения, связывающего градиенты, определяемые при параметрической и явной формах задания поверхности. Действительно, представление поверхности в явном виде является частным
случаем алгебраического представления, в чем можно убедиться, переписав явное уравнение как
Далее находим, что
Третье из уравнений (13.7) вводит ограничение, так что, в конечном счете, получаем
Пример 13.3. Параметрическое задание сферы с центром в начале координат имеет вид
Уравнение (13.5) после исключения общих множителей дает следующие значения для нормали:
Соответствуют ли эти значения результатам примера 13.2? Получаем также, что 
