16.3. ТРЕХМЕРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Преобразования, обеспечивающие перенос и изменение масштаба, в трехмерном случае можно представлять таким же образом, как и в двухмерном, однако для поворота теперь следует указывать ось, относительно которой он осуществляется. Хотя формулы для преобразования координат в результате поворота относительно произвольной оси довольно громоздки, им можно придать аккуратный вид с помощью достаточно простых операций, если воспользоваться некоторыми понятиями векторной алгебры
16.3.1. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
На протяжении всей книги предполагалось, что читатели знакомы с элементами векторной алгебры; мы уже пользовались понятиями скалярного произведения и произведения матрицы на векторы (см. разд. 2.2, разд. 10.3 и др.). В этом разделе будет введен еще ряд операций над векторами, которые широко используются в механике и электромагнитной теории, однако могут быть не очень хорошо знакомы студентам, специализирующимся в области информатики или обработки сигналов.
Определение 16.2. Векторное произведение трехмерных векторов и и 
(обозначается через 
определяется как вектор с компонентами
Следующее утверждение суммирует ряд свойств векторного произведения. Соответствующие доказательства очевидны.
Утверждение 16.3. а. Если векторы 
коллинеарны, т. е. 
, где с — константа, то 
б) Если векторы и и 
неколлинеарны, то вектор 
нормален к плоскости, определяемой этими векторами, в
г) Значение векторного произведения равно 
где 0
— угол, образованный перемножаемыми векторами
Определение 16.3. Векторным произведением вектора 
матрицы А является матрица, столбцы которой представляют собой векторные произведения столбцов матрицы на вектор 
Отметим также, что произведение 
-мерного вектора 
на транспонированный 
-мерный вектор и представляет собой матрицу 
элементы которой определяются уравнением
Поскольку вектор-столбец представляет собой матрицу размерами 
а вектор-строка — матрицу 
то указанное векторное произведение представляет собой матрицу 
(При изменении порядка сомножителей результатом векторного произведения является матрица 
, т. е. скалярная величина.) Эта операция над векторами специально выделяется.
Определение 16.4. Диадой называется произведение вектора-столбца и на вектор-строку 
Двучленным представлением матрицы является форма
где 
— векторы.
Понятие диады нами будет использовано при выводе выражения для преобразования координат в результате поворота относительно оси, проходящей через начало координат. Обсуждение двучленного представления выходит за пределы задач нашей книги, и мы ограничимся рассмотрением одного примера. Обратите внимание на то, что не все матрицы имеют двучленное представление.
Пример 
Матрица
имеет двучленное представление
С другой стороны, матрицу
нельзя представить в двучленном виде,
