14.2. ДВУХМЕРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Очень распространенная задача машинной графики заключается в определении местоположения пиксела после его поворота относительно точки на угол 9. Пусть — длина вектора, соединяющего точку с точкой Поскольку ее значение при повороте не изменяется, справедливы следующие уравнения (обозначения расшифровываются на рис. 14.1):

Разложив косинус и синус суммы двух углов в уравнении (14.1 б) и осуществив подстановку выражений для тригонометрических функций из уравнения (14.1 а), получаем уравнения, определяющие значения

Эти уравнения можно представить в более простом виде, определив матрицу поворота относительно начала координат

и векторы

новых координат через старые:

В таком случае

Перенос точки можно легко учесть, прибавив к значениям соответствующих координат величину перемещения. Изменение масштаба производится при помощи умножения значений координат на масштабный множитель.

Рис. 14 1. Расшифровка обозначений, входящих в выражение, связывающее новые координаты со старыми х, у при повороте пиксела на угол относительно точки

Эту операцию можно определить в матричном виде, задав соответствующую матрицу масштабных множителей:

Для единообразия зададим и переносы матрицами, введя в векторы, определяемые уравнением (14.36), третью компоненту, равную 1. Матрицы поворота и изменения масштаба можно модифицировать, введя в каждую из них третью строку и третий столбец; первые два элемента этой строки равны 0, а третий результате матрица поворота принимает вид

Теперь объединим эти матрицы в единую матрицу преобразований. Действительно, выполнение последовательности преобразований соответствует перемножению соответствующих матриц. Можно убедиться в том, что произведение матрицы на расширенную матрицу равно

Произведение расширенной матрицы поворота на матрицу равно

Уравнение (14.7а) определяет матрицу преобразования, состоящего в переносе, за которым следует поворот. Уравнение (14.76) определяет матрицу преобразования, состоящего в повороте, за которым следует перенос. Поворот относительно точки можно представить так же, как последовательность переносов и поворотов относительно начала координат:

Б результате матрица поворота относительно точки на угол за которым следует перенос определяется как

Таким образом,

Уравнения (14.9) определяют общий вид преобразования, обеспечивающего изменение местоположения точки на плоскости. Следует подчеркнуть, что обратную матрицу для матрицы можно легко получить, заменив на и — на - 0, изменив порядок операций в уравнении (14.8) на обратный.