10.2. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ МНОГОЧЛЕНОВ

Пусть — последовательность точек, заданных на плоскости, причем при Для таких точек можно непосредственно написать формулу интерполяционного многочлена степени:

интерполяционный многочлен можно представить в более строгом виде:

Из приведенного выражения следует, что значение умножается на дробь, равную 1 при и 0 при остальных значениях х, принимаемых им в заданных координатах. Частному случаю соответствует уравнение линии, соединяющей две точки:

Основным недостатком интерполирования с помощью многочленов являются существенные колебания, которые может претерпевать кривая, построенная между двумя точками. Это обстоятельство иллюстрируется следующим примером.

Пример 10.1. Заданы пять точек: (0,0), (1,3), (2,0), (3,0) и (4,0). Соответствующий интерполяционный многочлен имеет вид

и представлен на рис. 10.1. Он имеет три экстремума, расположенных вблизи точек (0,67; 3,46), (2,46; —0,47) и (3,5; 0,66). Может потребоваться, чтобы

Рис. 10.1. Сравнение результатов интерполирования с помощью многочленов (а) и кусочно-многочленного интерполирования (б)

многочлен принимал близкие нулю значения на сегменте [2,4] и имел один из максимумов в точке или был симметричен относительно нее; однако данный многочлен ни одним из этих свойств не обладает.

Причина подобного поведения интерполяционных многочленов заключается в том, что многочлен, в принципе, представляет собой сумму степенных функций х. Эти функции обладают тем свойством, что их значения на всем сегменте определяются значением на произвольном малом подсегменте. Подбирая коэффициенты многочлена таким образом, чтобы сумма составляющих его функций принимала в нескольких точках искомые значения, мы не в состоянии контролировать значения отдельных членов в остальных точках. Поскольку значение каждого члена может быть достаточно велико, то появление значительных отклонений не должно являться неожиданным. Так, в примере 10.1 не удается обеспечить нулевое значение интерполяционного многочлена на сегменте [2.4]. Теперь, очевидно, целесообразно обратиться к интерполированию с помощью кусочных многочленов.

Пример 10.2. Для интерполирования тех же, что и выше, пяти точек используется кусочно-квадратичный многочлен. Вводится промежуточная точка (1,5; 1,35), и в результате решение выглядит следующим образом:

Методы выбора промежуточных точек обсуждаются в разд. 12.4. Здесь лишь отметим, что полученное таким образом приближение является непрерывным и имеет непрерывную первую производную — соответствующая гладкая кривая представлена на рис. 10.1, б. Хотя построенная функция не симметрична относительно она симметрична относительно и ее значение в этой точке равно 3,09. (Строгой симметричности относительно можно было бы добиться, выделив четыре сегмента: [0; 0,5], [0,5; 1,5] и т. д.)

Эти примеры показывают, что интерполирование с помощью многочленов имеет смысл только при сравнительно небольших сегментах. Оно заслуживает внимания лишь в том отношении, что образует в некотором смысле основу для более приемлемых способов построения кривых по точкам. Однако не следует считать, что кусочно-многочленное интерполирование всегда дает результаты лучшие, чем интерполирование с помощью многочленов. Если область определения данных делится неудачно, то все преимущества кусочной аппроксимации полностью исчезают.

Иногда помимо множества точек задается и касательная, которую должна иметь кривая, проходящая через эти точки, в каждой из них. Выражение, представляющее интерполяционный многочлен для этого случая, является весьма громоздким и мы не приводим его Здесь. Читатель может найти его в учебниках по дополнительным главам математического анализа или по вычислительной математике. Мы ограничимся лишь выражением для случая, когда заданы две точки и касательные в них :

В общем случае роль интерполяционного многочлена такою типа выполняет кубический многочлен. Он будет линейным в том и только том случае, если равны угловому коэффициенту линии, соединяющей точки и квадратичным в том и только том случае, если среднее от равно тому же угловому коэффициенту.

Пример 10.3. Заданы точки (0,0) и (1,1) с угловыми коэффициентами соответственно. Тогда

На рис. 10.2 проиллюстрированы случаи: Очевидно, что второй результат интерполирования неприемлем. С другой стороны, разумный результат для обеспечивается следующей кусочной аппроксимацией:

Соответствующий результат приведен на рис 10 2 (штриховая линия)

Данный пример показывает, что задание угловых коэффициентов может привести к очень значительным колебаниям, поскольку у многочлена производная некоторого порядка — константа (в данном случае — это третья производная, так как интерполяционный многочлен — кубический) и, следовательно, соответствующая функция не может очень резко изменяться.

Рис. 102. Результаты интерполирования с помощью многочлена и кусочно-многочленного интерполирования при задании угловых коэффициентов в концевых точках кривой (сплошные линии); результаты кусочной аппроксимации для случая (штриховая линия)