12.3. АППРОКСИМАЦИЯ С ПОМОЩЬЮ В-СПЛАЙНОВ
Ни один результат предыдущего раздела не зависит от особенностей строения функций 
если они образуют базис. Рассмотрим теперь 
-сплайны 
степени, заданные на сегменте, содержащем 
точек склеивания. Общее число таких функций составит 
Допустим, что определено такое множество коэффициентов 
что
Это означает, что на любом сегменте сумма значений определенных 
-сплайнов также будет равна нулю. При 
и равномерном расположении точек склеивания возникают уравнения вида
где 
Очевидно, что уравнение (12.14) не может быть тождеством относительно 
за исключением случая, когда и 
равны нулю. Аналогичным образом можно проанализировать и общий случай 
и точки склеивания расположены неравномерно), и, следовательно, можно показать, что 
-сплайны действительно образуют базис. При этом в соответствующей матрице Грама ненулевые элементы будут расположены лишь на главной диагонали и 
диагоналях, расположенных по обе стороны от главной. В самом деле, 
имеют нулевые значения на сегменте лишь при 
Если снова в уравнении (12.11) перейти от сумм к интегралам, то для 
и равномерного
размещения точек склеивания находим, что первый и последний элементы главной диагонали равны 
элементы, расположенные на главной диагонали между ними, равны 
и элементы диагоналей, расположенных выше и ниже главной, равны 
. В случае двух сегментов определитель матрицы Грама равен 
трех сегментов 
задачу 12.1). Обращение таких матриц осуществляется много проще, чем обращение матрицы уравнения (12.12).
При решении прикладных задач важную роль играет вычисление значений элементов матрицы Грама при произвольном расположении точек склеивания в соответствии с уравнением (11.5). Это легко осуществить с помощью процедуры BSPLINE, представленной в виде алгоритма 11.1 а. Если доступный объем памяти позволяет это, то значения всех В-сплайнов могут храниться в ней до вычисления скалярных произведений.
Основной проблемой, возникающей при использовании 
-сплай-нов или иных кусочно-полиномиальных функций, является выбор расположения точек склеивания. К обсуждению этой проблемы мы и переходим.
