12.2. АППРОКСИМАЦИЯ ПО КРИТЕРИЮ СУММАРНОЙ КВАДРАТИЧЕСКОЙ ОШИБКИ

Определим аппроксимирующую кривую следующим образом:

где — семейство кривых, образующее базис. Говоря проще, это означает, что все представляющие интерес гладкие кривые можно некоторым единственным образом представить с помощью уравнения (12.2). Введение условия единственности приводит к следующему утверждению.

Утверждение 12.1. Пусть функции образуют базис. Если существуют коэффициенты такие, что

то Справедливо и обратное утверждение. Пусть — множество, состоящее из функций, которые удовлетворяют уравнению (12.3) лишь при равенстве всех коэффициентов нулю. В таком случае, если другая функция может быть представлена в виде суммы функций то это представление — единственно.

Доказательство. Допустим, что существуют такие ненулевые коэффициенты, для которых выполняется уравнение (12.3). Пусть

где — произвольная функция. Суммируя уравнения (12.3) и (12.4), находим, что

т. е. функцию можно представить в виде суммы базисных функций более, чем одним способом, что однако, невозможно. Таким образом, утверждение доказано путем приведения к противоречию. Выполнение этих рассуждений в обратном порядке позволяет доказать обратное утверждение.

Рассмотрим теперь следующие заданные экспериментальные точки: При изучении задачи аппроксимации параметр удобно определять таким образом, чтобы его значения ставились в соответствие каждой экспериментальной точке, которые в результате представляются тройками вида Это можно осуществлять двумя основными способами.

(а) Сигналы (зависимость сигнала от времени). Если последовательность значений координаты х является возрастающей, то

и обрабатываемые данные можно рассматривать как сигнал, заданный на сегменте [0,1]. Тогда

(б) Контуры. Другой способ определения параметра заключается в задании где . В этом случае аппроксимация производится как по х, так и по у для значений из сегмента

Значения ошибки по координатам при этой можно минимизировать независимо:

Поскольку уравнения (12.6) и (12.5а) аналогичны, мы рассмотрим лишь случай Продифференцировав уравнение (12.56) по получаем

Минимизация значения предполагает равенство нулю всех правых частей последнего уравнения (соответствующих всем значениям к), откуда вытекает следующая система уравнений:

Можно показать, что для тех функций, для которых выполняется утверждение 12.1, система уравнений (12.9) имеет единственное решение и, по крайней мере в принципе, задача СКО-аппроксимации может быть сведена к решению уравнений (12.9). Задачу аппроксимации контура можно решить аналогичным образом. Заметим, что в последнем случае можно задать векторы

и определить точки-ориентиры уравнения (11.18).

На практике возникают трудности, главным образом, вследствие того, что матрица Грама

для некоторых из чаще всего используемых базисных функций является почти особой. В частности, так обстоит дело при использовании в качестве базисных функций степеней больше двух. Это свойство легко устанавливается при замене сумм интегралами, т. е. при введении допущения . В таком случае для базисных функций — степеней — матрица Грама имеет вид

Значения соответствующих определителей равны 1/12 при .