12.6.2. ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТЫХ АППРОКСИМИРУЮЩИХ КРИВЫХ

Рассмотрим несколько примеров объектов, форма которых может быть описана математически.

Пример 12.1. Отыскание наилучшего приближения множества точек окружностью по критерию минимума суммарной квадратичной ошибки эквивалентно

выбору таким образом, чтобы была обеспечена минимизация величины

(Предполагается, что ошибка в точке определяется по нормали к кривой, а не по осям координат. Минимизация ошибки Е — нелинейная задача; поэтому можно попытаться наити субоптимальное решение на основе выбора точки с координатами в качестве центра тяжести экспериментальных точек. (Этим приемом можно пользоваться лишь при равномерном расположении экспериментальных точек по окружности.) В таком случае значение Е можно минимизировать по Наилучшим является выбор равным радиусу инерции (см. задачу 12.5). На рис. 12.8 приведен пример использования такой субоптимальной схемы решения. (Экспериментальные точки показаны зачерненными кружочками.)

Рис. 12.8. Два множества точек, аппроксимированные окружностями

Рис. 12.9. Два множества точек, аппроксимированные квадратами

Пример 12.2. Заданы четыре точки, якобы образующие правильный квадрат, хотя на самом деле это не так. Необходимо изменить положение каждой точки таким образом, чтобы они образовали квадрат и сумма всех перемещений точек была минимальна. Следует выбрать значения х, у и а таким образом, чтобы была обеспечена минимизация следующего выражения:

Взяв соответствующие частные производные, устанавливаем, что значения х, у и а должны удовлетворять следующей системе уравнений:

Решение этой системы уравнений имеет вид:

На рис. 12.9 даны иллюстрации использования этих формул. (Экспериментальные точки показаны зачерненными кружочками.)

Пример 12.3. Требуется по заданному множеству из точек построить эллипс. Пусть — длины осей эллипса и — угол, образованный одной из них с осью х. Выберем снова центр тяжести в качестве центра эллипса. Определим моменты инерции относительно этого центра:

Можно показать, что при выборе угла равного половине угла, тангенс которого равен , моменты инерции и относительно осей эллипса будут максимальны по одной оси и минимальны по другой. (Момент инерции будет равен 0.) Наша цель состоит в том, чтобы уравнение эллипса было справедливо в среднем, т. е.

где координаты х, и у, определяются в новой системе координат, начало которой совпадает с центром эллипса, а координатные оси параллельны осям

Это уравнение выполняется, если

эллипса. Уравнение (12.30) эквивалентно уравнению где

При выборе характер распределения (форма расположения) точек сохраняется: эллипс, длина осей которого равна указанным величинам, а экспериментальные точки равномерно расположены вдоль его контура, имеет моменты относительно обеих осей, равные (с точностью до масштабного коэффициента) исходным моментам.