16.3.2. ПОВОРОТ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОЛЬНОЙ ОСИ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ НАЧАЛО КООРДИНАТ

Рассмотрим эту задачу сначала в координатах х, у, z, Зададим ось, проходящую через начало координат, углами которые она образует с координатными осями х, у и Отметим, что эти углы не являются независимыми, поскольку их косинусы связаны следующим соотношением:

Определим вектор а, параллельный заданной оси и имеющий единичную длину. При этом ось .

Теорема 16.1. Матрица преобразований координат, соответствующих повороту на угол 9 относительно оси, проходящей через начало координат и параллельной единичному вектору а, определяется уравнением

где единичная матрица

Доказательство 16.1. Пусть — вектор, проходящий через начало координат и подлежащий повороту относительно заданной оси. Этот вектор всегда можно разложить на два вектора, один

из которых параллелен заданной оси, а второй нормален к ней; таким образом, вектор можно представить в виде суммы

где X — постоянная. Определим произведение воспользовавшись уравнениями (16.13) и (16.14):

Все операции над векторами ассоциативны и произведение диады на вектор равно произведению вектора на скалярное произведение Применив такое преобразование ко всем членам уравнения (16.15), можно добиться существенного упрощения последнего. Поскольку, по предположению, вектор а — единичный, произведение и поскольку вектор был задан ортогонально вектору а, произведение Кроме того, произведение должно быть равно нулю, поскольку все столбцы матрицы ортогональны вектору а. В таком случае уравнение (16.15) принимает вид

Для завершения доказательства теоремы необходимо лишь показать, что два последних члена этого уравнения представляют поворот вектора на угол в плоскости, перпендикулярной заданной оси Во-первых, обратим внимание на то, что Это можно

и вычислив затем значение ее произведения с вектором Итак, два последних члена уравнения (16.16) можно представить в виде

доказать, определив в явном виде матрицу

Вектор перпендикулярен векторам и а и его длина равна длине вектора в силу утверждения . Если на плоскости, перпендикулярной заданной оси, задать локальную систему координат, то одну из осей можно выбрать параллельной вектору а другую

— параллельной вектору . В результате оказывается, что уравнение (16.17) действительно представляет поворот в в этой плоскости на угол 6. На этом доказательство теоремы заканчивается.

Уравнение (16 16) можно преобразовать таким образом, чтобы матрица поворота оказалась выражена через углы 9 и . В нее можно ввести также дополнительные строку и столбец, чтобы она была применима при использовании однородных координат. В таком случае поворот на угол будет задаваться матрицей , элементы которой определяются уравнениями (16.18). В этих

уравнениях величина принимает значения из множества отличные от значений

Если выбранная ось вращения совпадает с одной из осей координат, то приведенные выше уравнения существенно упрощаются и сводятся, в сущности, к формуле, определяющей поворот на плоскости.