2.3. ВЫБОРКА

Чтобы обрабатывать на ЭВМ изображение или любой иной сигнал, мы должны преобразовать его в конечный набор чисел. Выборка представляет собой выделение множества дискретных точек во временном или пространственном континууме. В процессе дальнейшей обработки будут использоваться только значения сигнала, зафиксированные в выделенных точках.

2.3.1. ВЫБОРКА В ОДНОМЕРНОМ СЛУЧАЕ

Основополагающим математическим результатом для одномерного случая служит теорема Шеннона об отсчетах, сформулированная в терминах спектра сигнала. Пусть -дискретное представление образованное неквантованными импульсами, разности

В таком случае можно показать, что — фурье-образ связан с следующим соотношением:

деленными интервалами длиной Т единиц, т. е.

Другими словами, фурье-образ дискретного представления получается в результате суммирования фурье-образов взятых со сдвигом. Отметим, что соотношение (2.12) не имеет отношения к дискретному фурье-образу оно характеризует непрерывное преобразование некоторой функции, принимающей ненулевые значения лишь в определенные дискретные моменты времени. Различие результатов преобразования функций и можно уяснить, обратившись к примерам, приведенным на рис. 2.1. На верхнем левом графике при то время как на верхнем правом графике это не так. Графики для этих двух случаев приведены в средней и нижней частях рис. 2.1. В первом случае, если задан, то можно определить точно и, следовательно

Рис. 2 1. Фурье-преобразование дискретизованных сигналов. -спектры недисиретизованных сигналов и А (О соответственно; б — спектр дискретизованного сигнала в — спектр — очертания фурье-образа непрерывного сигнала, повторяемого с частотой

восстановить сигнал по его дискретному представлению Это невозможно во втором случае из-за перекрытия членов уравнения (2.12). На основании сказанного шеннонова теорема отсчетов формулируется следующим образом.

Теорема 2.1. Пусть — максимальное значение при котором фурье-образ не равен нулю. Тогда сигнал поддается точному восстановлению по выборочным отчетам, если время между соседними отсчетами меньше, чем т. е. частота выборки равна, по меньшей мере, удвоенному значению

Отметим, что приведенная теорема не предлагает какого-либо способа восстановления непрерывного сигнала по его дискретным отсчетам. Она лишь указывает на возможность такого восстановления. На самом деле, при использовании минимальной частоты выборки для восстановления сигнала приходится обращаться к достаточно сложным методам. Если предпочтительным является определенный тип восстановления, то частота выборки вполне может оказаться выше минимального значения, определяемого теоремой отсчетов.

Пример 2.1. Допустим, что восстановленный сигнал состоит из постоянных, равных выборочным значениям (как показано на рис. 22) Пусть при некотором значении

Рис. 2.2. Восстановление сигнала с помощью кусочно-постоянной аппроксимации

Если мы хотим, чтобы максимальное отклонение восстановленного сигнала от исходного не превышало заданной величины то, как следует из рис. 2.2, должно выполняться следующее соотношение:

где k — момент; kT — интервал выборки. Далее с помощью теоремы о среднем можно показать, что это неравенство выполняется, если максимум абсолютной величины — произвольной меньше, чем Для конкретного сигнала можно также с помощью тригонометрической формулы вычислить максимальное значение разности в неравенстве (2.13) и показать, что оно эквивалентно неравенству

Если значение синуса малого угла аппроксимировать значением собственно угла, то последнее неравенство принимает вид

и граница, определяемая этим неравенством, является существенно меньше шенноновской. К такому результату приводит и использование теоремы о среднем.