5.3. ОПИСАНИЕ ОДНОГО КЛАССА АЛГОРИТМОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Проблемы, возникающие при практическом осуществлении восстановления изображений, связаны главным образом с необходимостью быстрого вычисления, чтобы результаты можно было воспроизводить в реальном или почти реальном масштабе времени и обеспечивать низкие уровни шума и искажений. Рассмотрим один распространенный метод восстановления изображений — метод свертки.

Пусть внутренний интеграл в уравнении (5.8) определен следующим образом:

где

Тогда

Для фиксированного значения выражение можно интерпретировать как обратную проекцию, т. е. функцию двух переменных, определяемую по некоторой функции

одной переменной, как показано на рис. 5.4. Следовательно, результат восстановления равен разделенному пополам среднему значению обратных проекций, проинтегрированных по . [Коэффициент 1/2 появляется вследствие того, что правая часть уравнения (5.13) делится на тогда как интеграл берется лишь от 0 до

Рис. 5.4. Определение обратной проекции. Кривая в плоскости переносится вдоль оси у для образования некоторой цилиндрической поверхности, которая рассматривается как некоторая функция двух переменных и представляет собой обратную проекцию

Функция представляет собой обратное фурье-преобразование от т. е. свертку с функцией обратное преобразование Фурье которой дает

Из теории линейных систем известно, что уравнением (5.14) определяется выходной сигнал фильтра, обладающего импульсной характеристикой при подаче на его вход сигнала (угол в данном случае выполняет роль параметра). В результате получаем алгоритм восстановления изображений 5.1 (при его записи через М обозначено число измеряемых значений угла а через — восстанавливаемая функция.

Алгоритм 5.1. Стандартный алгоритм восстановления изображений

Обозначения. -проекция; — проекции, подвергнутые фильтрации; — восстанавливаемая функция; М — число значений угла, использованных при вычислении значений проекций.

(см. скан)

(см. скан)

Теперь остается только выбрать фильтр, и именно на этом этапе возникают трудности при решении практических задач. Дело в том, что не существует практически реализуемого фильтра с передаточной функцией применение которого не приводило бы к усилению шума. Можно считать, что решающим элементом любого метода восстановления изображений является выбор импульсной характеристики Приведем некоторые возможные варианты выбора.

а Импульсная характеристика представляет собой дельта-функцию, и передаточная функция фильтра равна не .

1. В этом случае нет необходимости использовать операцию свертки, так как Оказывается возможным прос то определить обратные проекции по проекциям и вычи слять результат восстановления как среднее последних. Восста новленное изображение, естественно, будет искажено — искаже ние можно оценить с помощью отношения передаточных функций реального и идеального фильтров. В нашем случае это отноше ние равно т. е. реализуется фильтр нижних частот, и, еле довательно, восстановленное изображение оказывается размытым.

б. Обозначим через а расстояние между параллельными луча проекции, тогда

а между этими точками — линейная функция. В результате

Если много меньше то

Итак, восстановление будет точным, если фурье-образ равен нулю при больших некоторой малой доли . В этом случае также достигается упрощение вычислений. Действительно, наш алгоритм эквивалентен вычислению по следующей формуле:

Предполагается, что квантование осуществляется равномерно по углу и расстоянию, а значение определяется размерами участка, содержащего соответствующее поперечное сечение.

Известно много разновидностей этих методов, однако их обсуждение выходит за рамки нашей книги Вместо их изложения приведем простой пример реализации процесса восстановления.

Пример 5.1. Пусть поперечное сечение представляет собой круг радиусом имеет плотность, равную единице В таком случае его проекция при любом значении угла будет равна

Отметим, что проекция действительно не зависит от Восстановление по двум обратным проекциям, расположенным под углом 90°, без использования фильтрации приводит к результатам, определяемым следующими соотношениями (области, в которых эти соотношения выполняются, указаны на рис. 5.5).

Рис. 5.5 Проекция (слева внизу) круглого по перечного сечения (слева вверху) при всех значениях угла Обратная проекция проекции, параллельной оси х, не равна нулю в областях 2 и 4 (справа вверху) Аналогично о атная проекция проекции параллельной оси у не равна нулю в областях 1 и 3

Множитель 2, входящий в уравнение (5 19а), в последних соотношениях опущен, так как берется среднее значение двух обратных проекций Несложные вычисления показывают, что при восстановленное изображение на окружности определяется с помощью соотношения (5 20г) как

При последнее соотношение принимает вид

тогда как точное значение есть постоянная, равная единице. Целесообразно нормировать каждую проекцию, разделив ее значение на площадь А, равную интегралу проекции по . В нашем случае

поэтому восстановтенное изображение принимает вид

График функции, определяемой уравнением (5.24), представлен на рис. 5.6

Рис. 5.6 Вид функции, восстановленной на границе круга с использованием только двух проекций, по оси ординат откладываются кратные значения

Приведем еще несколько нормированных значений функции

Добавление новых проекций приведет к увеличению значений в пределах окружности, однако сохранятся ненулевые значения и вне ее, а следовательно, сохранится и размытость восстановленного изображения. Нагтимер, введение двух дополнительных проекций изменит значение соотношения (5.25а) на хотя значение соотношения (5 25в) изменениям не подвергается.