13.7. ПОСТРОЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПО ОРИЕНТИРАМ

Воспользовавшись обобщением многочленов Безье или В-сплайнов типов, рассмотренных в разд. 11.6, можно задать поверхность с помощью точек-ориентиров.

13.7.1. ПОВЕРХНОСТИ БЕЗЬЕ

Поверхность можно определить как тензорное произведение двух многочленов Безье которое вычисляется отдельно по каждой координате точек-ориентиров. Эта процедура не влияет на вид переменных и и но отражается на коэффициентах. Задав где обозначает х, у или приходим к следующему уравнению поверхности:

Легко показать, что

аналогичные выражения можно записать для Таким образом, поверхность ограничена четырьмя многочленами Безье и угловыми являются точки Ртои Воспользовавшись тем, что удвоенная сумма коэффициентов равна 1, можно продемонстрировать принадлежность построенной поверхности выпуклой оболочке точек-ориентиров.

Такую поверхность можно описать также, опираясь на ее участки, аналогично тому, как было показано в разд. 10.5 для многочленов Безье (см. теорему 10.1). Подобный способ описания удобно использовать при решении прикладных задач машинной графики в случаях, когда требуется разделить некоторый конечный участок поверхности, имеющий замкнутую границу, на меньшие участки для того, чтобы установить, какие элементы объекта являются видимыми, а какие — невидимыми (см. гл. 17).

13.7.2. ПОВЕРХНОСТИ, ПОСТРОЕННЫЕ С ПОМОЩЬЮ В-СПЛАЙНОВ

Поверхность, построенная с помощью -сплайнов (-сплайн-поверхность), формально определяется следующим образом:

при Без потери общности можно считать, что Напомним, что во всех случаях, за исключением и суммарное значение всех -сплайнов в точке равно 1 (см. теорему 11.11). В таком случае получаем, что

Если все точки-ориентиры с отрицательными индексами точно такие же, как то последнее уравнение упрощается:

т. е. поверхность ограничена сплайном при Использование этого метода с такими же допущениями приводит к получению идентичных результатов для остальных крайних значений . Естественно, этот результат не имеет такого значения, как в случае поверхностей Кунса, поскольку уравнение (13.32) описывает не отдельный участок поверхности с замкнутой границей, а всю искомую поверхность. Конечные участки поверхности с замкнутой границей можно построить для всех множеств значений , лежащих между точками склеивания: Полезно познакомиться с вариантами уравнения (13.33), соответствующими отдельным частным случаям.

Вначале рассмотрим билинейную интерполяционную поверхность при и равномерном размещении точек склеивания (они отстоят друг от друга на единицу длины, т. е. в соответствии с соотношением . В таком случае, что

Итак, получена билинейная форма, аналогичная той, что определяется уравнением (13.13). Поскольку мы получаем,

и т. д. Кроме того,

и т. д. Следовательно, билинейная интерполяционная поверхность является частным случаем поверхности определяемой уравнением (13.32).

Перейдем теперь к поверхностям, получаемым с помощью равномерных В-сплайнов второго порядка при Зададим снова так что . В разд. 11.7 (см. пример 11.4) было установлено, что такие сплайны особенно хорошо подходят для описания формы объекта. Анализ, позволивший вывести уравнения (11.30а) и (11.32), можно повторить, в данном случае с тем, чтобы получить подобные выражения. В частности, мы находим, что

т. е. поверхность проходит через центр четырехугольника, образованного четырьмя точками-ориентирами. Кроме того,

Из последних двух уравнений следует, что, если имеется многогранник, гранями которого являются четырехугольники, а вершины могут быть отображены на некоторую квадратную сетку, то сплайн-поверхность, при построении которой вершины многогранника использовались в качестве точек-ориентиров, обладает следующим свойством: она проходит через центры всех граней многогранника и является касательной к нему в этих точках.