5.2. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОДЫ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Если -плотность некоторого объекта в точке с координатами х, у, z и поглощение рентгеновских лучей пропорционально этой плоскости с коэффициентом пропорциональности к, то функция яркости рентгеновского снимка (негатива), параллельного плоскости имеет вид

где — прямая, проходящая через объект.

Если направление рентгеновского излучения не совпадает с осью х, а образует с ней угол (рис. 5.2), то интегралы должны браться вдоль прямых, определяемых уравнениями вида

где — евклидово расстояние прямой от начала координат. В таком случае

где — объем, в котором содержится объект, а символ обозначает дельта-функцию Введение дельта-функции позволяет определить прямую, по которой берется интеграл, в неявном виде вместо ее задания в явном виде в соответствии с уравнением (5.1).

Рис. 5.2. Определение переменных входящих в уравнение (5.2)

Фактически проекции строятся лишь для фиксированного значения а поперечное сечение объекта восстанавливается и отображается. (Повторение такой процедуры при различных значениях естественно, приводит к получению информации об объекте в целом.) Поэтому зависимость от координаты можно исключить

из уравнения (5.3), и обозначив поглощение рентгеновского излучения в точке с координатами через получаем

В последнем уравнении через обозначен участок, содержащий искомое поперечное сечение. Поскольку мы считаем, что вне объекта точная форма участка не имеет значения.

Восстановление функции по некоторому набору проекций полученных при различных значениях угла основывается на том математическом факте, что двухмерный фурье-образ функции можно получить, располагая набором одномерных фурье-образов проекций Это означает, что можно определить с помощью обратного преобразования Фурье. Это утверждение легко доказывается следующим образом.

Пусть есть фурье-образ проекции , определяемый уравнением

Подставляя в уравнение (5.5) уравнение (5.4), находим

Здесь использовано то обстоятельство, что подынтегральная функция равна нулю всегда, за исключением случая, когда Сравнение уравнений (5.6) и (2.2) показывает, что первое представляет собой двухмерное преобразование Фурье функции вычисляемое для частот Можно показать, что обратное преобразование Фурье для двухмерного случая определяется уравнением, аналогичным уравнению (2.6), и в частности

Фурье-образ представляет собой фурье-образ переведенный в полярные координаты, причем При переходе от декартовых к полярным координатам дифференциал заменяется на где — якобиан матрицы преобразования. Таким образом,

Математические основы метода восстановления изображений по проекциям сводятся к уравнениям (5.4), (5.5) и (5.8). С теоретической точки зрения можно добиться «идеального» восстановления, вычисляя значения для достаточно большого числа значений Однако при этом возникает много практических затруднений. Прежде чем перейти к их обсуждению, рассмотрим дискретные аналоги указанных уравнений, поскольку при решении реальных задач используются именно они. Уравнение (5.4) изменений не претерпевает, так как процедура проектирования всегда имеет аналоговый характер. Уравнение (5.5) принимает вид

где число точек, полученных в результате квантования прямой, перпендикулярной плоскости проекции. Уравнение (5.7) принимает вид

Уравнение (5.9) обеспечивает получение значений фурье-образа в виде Данный способ не позволяет

Рис. 5.3. Распределение вычисляемых значений фурье-образа. - выборочные точки равномерно расположены вдоль лучей, однако в системе координат распределение не является равномерным

получать значения для точно равномерно расположенных значений ее аргументов, что иллюстрирует рис. 5.3. Низким частотам соответствует много больше значений, чем высоким. В непрерывном случае [см. (5.8)] эта нехватка высокочастотных значений компенсируется введением коэффициента , следовательно, целесообразно использовать не уравнение (5.10), а какой-либо дискретный аналог уравнения (5.8). Большая часть исследований в области алгоритмов восстановления изображений посвящена, в сущности, попыткам найти должную компенсацию неравномерности распределения получаемых значений фурье-образа.