12.4. АППРОКСИМАЦИЯ С ПОМОЩЬЮ СПЛАЙНОВ С ПЕРЕМЕННЫМИ ТОЧКАМИ СКЛЕИВАНИЯ

Работая с интерактивной системой, пользователь может воспроизвести экспериментальные точки, а затем с помощью программы-редактора точек типа рассмотренной в разд. 10.8 задать расположение точек склеивания. Существует, однако, много прикладных задач, при решении которых хотелось бы иметь возможность выбирать такие точки автоматически. К сожалению, последнее связано с решением очень трудной математической задачи. Дело здесь в следующем. Пусть Т — вектор, представляющий расположение точек склеивания Для того чтобы «проявить» зависимость базиса от точек склеивания, заменим в уравнениях функции функциями . Так, уравнение (11.6) при помощи тривиальных изменений в обозначениях можно переписать в следующем виде:

Для получения оптимальной аппроксимации при нефиксированном расположении точек склеивания (положение точки склеивания является переменной) необходимо, кроме производных, задаваемых уравнением (12.8), определить следующие:

Для примера, представленного уравнением (12.15), находим, что

Два последних уравнения показывают, что положения точек склеивания входят в оптимизационные уравнения нелинейно — в явном виде эта задача не решается. Поэтому следует обратиться к интерактивным методам, при использовании которых сначала произвольно выбирается множество положений точек склеивания, а затем эти положения начинают варьироваться с тем, чтобы уменьшить ошибку Подобная процедура может потребовать много времени и по многим причинам является непрактичной.

В качестве еще одного примера возникающих затруднений рассмотрим уравнение (11.1), сформулированное без введения ограничений. Если в этом случае в уравнении (12.1 б) заменить суммы интегралами, то ошибка задается следующим выражением:

где ошибка в точке определяется как

Если выбран базис, не зависящий в явном виде от расположения точек склеивания (например, степени параметра то оказывается, что

Здесь использован тот факт, что производная интеграла по его верхнему пределу интегрирования равна значению подынтегрального выражения в этой точке, а именно

Аналогичным образом производная интеграла по его нижнему пределу интегрирования равна отрицательному значению подынтегрального выражения в соответствующей точке. Уравнение (1220) имеет простую интерпретацию, при оптимальном положении точки склеивания абсолютные значения ошибок в точках одинаковы по обе стороны от нее Однако этим соотношением нельзя воспользоваться, так как значения этих ошибок зависят от положения точек склеивания Если же ввести их в уравнение (1220) в явном виде, то снова возникнет нелинейное уравнение