11.2. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Происхождение термина «сплайн» относится к тому времени, когда еще не существовала машинная графика и чертежник, чтобы провести гладкую кривую через заданные точки, часто пользовался грузиками, помещая их в заданных точках и придавая с их помощью искомую форму гибкой деревянной линейке, называемой сплайном. Эти грузики имели выступ, который помещался в прорезь сплайна, приклепляя его к данной точке, но позволяя поворачиваться относительно нее. Если обратиться к теории упругости, то можно доказать, что результирующая кривая представляет собой (приближенно) кусочный кубический многочлен, являющийся непрерывным и имеющий непрерывные первую и вторую производные. Эти условия гарантируют также, что кривая имеет постоянную кривизну и разрывы возникают лишь в третьей производной. Поскольку человеческому глазу чрезвычайно трудно уловить последние, результирующая кривая выглядит совершенно гладкой. Если вдоль сплайна совершается механическое движение, то непрерывность второй производной предполагает непрерывность

ускорения и, следовательно, отсутствие резких изменений приложенной силы. Эти два свойства делают весьма целесообразным применение сплайнов при решении многих прикладных задач. Однако существуют случаи, когда достаточно использовать меньшее число условий непрерывности или многочлен более низкой степени — тем не менее термин «сплайн» используется и в этих случаях. В сущности, пока относительно употребления этого термина наблюдается мало согласованности. В данной книге используется следующая терминология.

Определение 11.1. Простым сплайном называется кусочнополиномиальная функция, задаваемая уравнениями (11.1) при . Термины «линейный сплайн», «квадратичный сплайн» и «кубический сплайн» относятся к указанной кусочно-полиномиальной функции при и 3 соответственно.

Определение 11.2. Сплайном называется кусочно-полиномиальная функция, задаваемая уравнениями (11.1) при

Можно отметить, что функции, использованные в пределах

10.2 (см. рис. 10.1,б) и 10.3 (см. рис. 10.2), являются квадратичными сплайнами, а кривая из задачи -кубическим сплайном (см. также задачу 11.1). Очевидно, что можно использовать интерполяционные, а также аппроксимационные сплайны. В обоих случаях можно знать число степеней свободы кривой. Из уравнений (11.1) следует, что для коэффициентов многочлена минус ограничений общее число степеней свободы некоторого сплайна составляет Простой сплайн, для которого имеет всего лишь к степеней свободы.

Большинство работающих в данной области согласны с тем, что важнейшим моментом, от которого зависит успешное использование сплайнов, является выбор числа и расположения точек склеивания. Убедиться в важности этого выбора читатели могут, обратившись к примерам разд. 10.2. Оказывается, что это — задача значительно более трудная, чем определение интерполяционного или аппроксимационного сплайна после выбора точек склеивания. Обсуждение этой проблемы в подробностях будет отложено до следующей главы, здесь мы ограничимся лишь некоторыми предварительными замечаниями. Отметим, что если допустить слияние точек склеивания, т. е. если то число ограничений автоматически уменьшается на 1. При кратности точек склеивания, равной снимаются все ограничения. Введение кратных точек склеивания, позволяющее порождать не простые сплайны, обладает как теоретическими, так и практическими преимуществами, и на некоторых из них мы остановимся ниже. Многие авторы пользуются терминами «сплайн с простыми узлами» и «сплайн с кратными узлами» для обозначения простых сплайнов и просто сплайнов соответственно. Кроме того, существуют задачи, при решении которых удобнее, чтобы значения отличались друг от Друга, причем, быть может, в каждой точке склеивания.

Еще одна важная проблема, возникающая при использовании сплайнов, связана с формой математического описания кривой. В

уравнение (11.1) входит слишком много параметров и использование ограничений для их исключения выливается в довольно трудоемкий анализ. (Можно показать, что эти ограничения на самом деле линейно независимы и, следовательно, каждое из них эффективно.) Другую форму описания кривой задает следующее уравнение:

где функция принимает значение при и 0 при Отметим, что функция и ее первые производных равны нулю при т. е. кусочно-полиномиальная функция и ее первые производных непрерывны во всех точках склеивания. Член пропорционален размеру скачка в точке разрыва производной, и, следовательно, функция, определяемая уравнением (11.2), обладает теми же свойствами, что и функция, определяемая уравнениями (11.1) при . В частности,

Уравнение (11.2) имеет лишь к свободных параметров, т. е. минимальное их число. Его форма близка к форме многочлена, что делает его использование крайне удобным во многих теоретических исследованиях. К сожалению, уравнение (11.2) обладает и серьезными недостатками. Во-первых, из уравнения (11.3) следует, что при необходимости изменить функцию на подсегменте, т. е. значение в его левой концевой точке, представление этой функции должно быть изменено на всех последующих подсегментах. Однако, как показывает уравнение (11.1), это совсем не обязательно. Если, например, то вид приходится изменять лишь на двух подсегментах (рис. 11.1, а). Подобным образом, при число подсегментов не должно превышать четырех. Действительно, при рассмотрении примера, приведенного на рис. можно было бы зафиксировать (и не изменять больше) положения узлов А и и проходящих через них касательных, отделив таким образом от изменяемой части сплайна его остальную часть. Если положения узлов В и (но

Рис. 11.1. Иллюстрация локальных свойств сплайнов: а — при изменение положения одною из узлов требует пересчета значений сплайна лишь на двух смежных подсегментах, б — при пересчет должен быть проведен на четырех подсегментах

не касательных в них) также фиксируются, то параболические дуги, из которых состоит сплайн между узлами А и В, D и Е, полностью определены. В таком случае сплайн с узлами в точках В, С и D характеризуется в соответствии с заданием тремя узлами, двумя касательными в концевых точках и условием непрерывности в точке С — всего шестью ограничениями, причем число степеней свободы также равно шести. Поскольку взаимная связь представлений на отдельных сегментах реализуется через ограничения, задаваемые в точках склеивания, можно полагать, что в общем случае число затрагиваемых сегментов должно быть пропорционально числу ограничений. Следующее утверждение выражает это допущение в строгом виде для случая, когда в подсегмент вводится новая точка склеивания.

Утверждение 11.1. Если в подсегмент вводится новая точка склеивания, то соответствующий сплайн необходимо изменять лишь на подсегменте

Доказательство. Пусть и — число затронутых (исходных) подсегментов. Согласование значений сплайна и его первых производных в точках требует введения ограничений. Общее число подсегментов, в которые могут вводиться изменения, равно а полное число степеней свободы — Следовательно, и

При не требуется проводить изменения на другом подсегменте, но при два последующих подсегмента могут оказаться подлежащими изменению. Если число подсегментов не изменяется, но на один из них вводится дополнительное ограничение, то с помощью аналогичных рассуждений можно показать, что Читателя может удивить, что после проведения изменений модифицируются лишь подсегменты, а не наоборот. Это недоумение сразу разъяснится, если разделить изменения собственно кривой и изменения представления кривой. Так, утверждение 11.1 относится к изменениям, производимым в представлениях кривых.

Второй недостаток уравнения (11.2) состоит в том, что при его использовании некоторые задачи аппроксимации обнаруживают тенденцию к неустойчивости в случае решения их численными методами Поэтому при решении многих практических задач используется третья форма представления сплайнов: они представляются в виде сумм других сплайнов, в частности сплайнов специального вида — В-сплайнов.