13.3. ОСОБЫЕ ТОЧКИ ПОВЕРХНОСТИ

Если поверхность задана явным уравнением, то точки, в которых частные производные по х и у обращаются в 0, называют особыми, или стационарными. Для изучения свойств этих точек воспользуемся разложением функции в ряд Тейлора в их окрестности. Для частных производных будут применяться обозначения, аналогичные введенным в (13.3). Если — координаты особой точки, то можно записать:

где — вторая частная производная по В особой точке обе первые частные производные равны 0. Следовательно, вид функции определяется вторыми производными. Рассмотрим изменения этой функции относительно значения в точке вдоль фиксированного направления. Обозначим через отношение Тогда приведенное выше разложение в ряд Тейлора можно записать:

(предполагается, что Из элементарной алгебры известно, что знак квадратичного многочлена совпадает со знаком коэффициента при его старшем члене, если дискриминант его

коэффициентов отрицателен (многочлен не имеет действительных корней). Следовательно, знак выражения, заключенного в квадратные скобки (рассматриваемого как многочлен по будет всегда один и тот же, если

Очевидно, что из этого неравенства следует также, что такой знак имеют вторые частные производные и Если они положительны, то выражение, заключенное в квадратные скобки, также положительно и, следовательно, значение функции вне особой точки больше ее значения в такой точке. Итак, особая точка представляет собой некоторый минимум. С другой стороны, если эти производные отрицательны, то особая точка представляет некоторый максимум. Если неравенство (13.11) не выполняется, то имеет место седлоеая точка. Все это означает, что существует направление, на котором особая точка образует минимум, и существует также другое направление, на котором эта особая точка образует максимум.

Пример 13.4. Рассмотрим функцию Совершенно очевидно, что точка (0,0) — особая и выражение, заключенное в уравнении (13.10) в квадратные скобки, имеет в данном случае вид Если абсолютное значение а меньше единицы, то особая точка представляет минимум Действительно, при малых значениях а рассматриваемая поверхность имеет вид чаши, поперечные сечения которой очень близки к окружностям Если а имеет большое положительное значение, то доминирующим становится член Если знаки х и у совпадают, то функция будет принимать в основном положительные значения, а при разных знаках х и у будет наблюдаться противоположная картина Рассмотрим, в частности, прямою . В таком случае и при положительных значениях а пересечение поверхности и плоскости, проходящей через эту прямую, будет иметь в особой токе минимум. Если то , следовательно, аналогичное пересечение будет иметь в особой точке максимум. На рис. 13.1 изображена поверхность такого вида при Эта иллюстрация объясняет, почему такие точки называют «седдовыми».

Рис. 13.1. Пример седловой точки