16.2. ОДНОРОДНЫЕ КООРДИНАТЫ
Анализ, проведенный в разд. 14.3, можно обобщить на трехмерный случай. Точку Р можно задать с помощью однородных координат х, у, z, w, а плоскость — коэффициентами а, b, с, d, так
В трехмерном случае двойственность имеет место между точкой и плоскостью. Таким образом, три точки задают плоскость посредством уравнения вида
а три плоскости пересекаются в точке, координаты которой задаются минорами определителя:
что уравнение плоскости принимает вид
Эти определения теряют силу в вырожденных случаях; три точки лежат на прямой, три плоскости имеют общую прямую, две точки или плоскости, задающие прямую, совпадают. В уравнении (16.2) условия вырожденности проявляются как возможность представить один из столбцов 2—4 в виде линейной комбинации двух других столбцов; это значит, что данный определитель равен нулю при любых значениях 
Итак, для задания прямых теперь требуется пара уравнений: прямая может определяться либо как пересечение двух плоскостей, либо как отрезок, соединяющий две точки. Чтобы записать уравнение прямой, соединяющей две точки, в однородных координатах, воспользуемся тем обстоятельством, что такая прямая должна принадлежать всем плоскостям, задаваемым точками 
и произвольной третьей точкой.
Следовательно, уравнение (16.2) должно являться тождеством относительно значений элементов четвертого столбца. Это, в свою очередь, означает, что миноры, соответствующие элементам этого столбца, должны быть равны нулю. Однако не все четыре результирующие уравнения являются независимыми. В самом деле, рассматривая минор, соответствующий 
обнаруживаем, что строка 
должна быть линейно зависима от строк 
чтобы определитель был равен нулю. Аналогичным образом устанавливается линейная зависимость строки 
от строк 
Из этих двух обнаруженных линейных зависимостей следует линейная зависимость строк 
Следовательно, минор, соответствующий 
равен нулю, если равны нулю миноры, соответствующие 
Это доказательство можно повторить для минора, соответствующего 
Если в этих уравнениях задать 
то придем к обычным выражениям, используемым для задания отрезка прямой, соединяющего две точки:
так что в результате остаются два независимых уравнения:
