14.3. ОДНОРОДНЫЕ КООРДИНАТЫ

Представление положения точки на плоскости с помощью трехкомпонентного вектора можно использовать для внутреннего изменения масштаба в процессе определения координат точки. Допустим, что мы изменяем единицу измерения координат х и у. В таком случае значение третьей компоненты вектора будет равно не

1, а масштабному множителю , следовательно, мы можем записать, что

Координаты называются однородными координатами точки. Очевидно, что ни одна из матриц преобразований не должна подвергаться изменениям, поскольку новое представление соответствует умножению на масштабный множитель Основное преимущество такого представления становится очевидным при

обращении к уравнениям прямых. Стандартное уравнение, определяющее прямую с угловым коэффициентом имеет вид

Уравнение в такой форме нельзя использовать для описания прямых параллельных оси у. С другой стороны уравнение вида

Определив а как вектор-столбец с элементами а, b и с, уравнение прямой можно представить в виде скалярного произведения

допускает описание таких прямых посредством задания . Умножив обе части уравнения (14.11 б) на масштабный множитель и задав

Если к множеству точек применено преобразование матрица, задающая это преобразование), то точки, бывшие коллинеарными до преобразования, должны сохранить коллинеарность. Если А — вектор-столбец, в который отображается вектор-столбец а, то должно быть справедливо уравнение

и, следовательно,

Отметим также, что некоторую бесконечно удаленную точку можно представить, задав для нулевое значение. Возможность работать с бесконечно удаленными точками точно таким же образом, как со всеми остальными точками, дает то преимущество, что упрощается обработка точек, координаты которых выходят за пределы доступного диапазона числовой точности (переполнение или исчезновение значащих разрядов). Так, например, прямая может задаваться двумя точками, координаты которых лежат за пределами указанного диапазона, и в то же время проходит через точки, попадающие в этот диапазон и подлежащие воспроизведению. При использовании однородных координат можно с помощью изменения масштаба ввести значения координат точек, задающих прямую, в приемлемые пределы. После этого для определения видимой части прямой можно использовать процедуру отсечения (см. гл. 15).

Проиллюстрируем ряд математических достоинств однородных координат при выводе нескольких полезных формул.

14.3.1. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ, ЗАДАВАЕМОЙ ДВУМЯ ТОЧКАМИ

Пусть координаты точек равны соответственно. Точка с координатами будет коллинеарна точкам если ее координаты линейно зависимы от координат этих точек. Это означает, что определитель матрицы, столбцы которой задают координаты трех рассматриваемых точек, должен быть равен О, т. е.

Это уравнение задает прямую, проходящую через точки Раскрыв определитель, мы можем записать это уравнение в более привычном виде:

[Отметим, что последнее уравнение эквивалентно уравнению (10.2).]

14.3.2. КООРДИНАТЫ ТОЧКИ, ОПРЕДЕЛЯЕМОЙ ПЕРЕСЕЧЕНИЕМ ДВУХ ПРЯМЫХ

Аналогичным образом можно определить точку, лежащую на пересечении прямых с коэффициентами соответственно. Поскольку всякая третья прямая с коэффициентами , проходящая через эту точку, должна быть линейно зависимой от первых двух прямых, определитель, столбцы которого составлены из коэффициентов этих прямых, должен быть равен 0. Итак,

В результате разложения определителя получаем

Поскольку представляют собой коэффициенты произвольной прямой, проходящей через точку пересечения прямых члены, стоящие в последнем уравнении в скобках, указывают координаты этой точки пересечения.

14.3.3. ДВОЙСТВЕННОСТЬ

Пары уравнений (14.14) и (14.15) или иллюстрируют двойственность, существующую между точками и прямыми, задаваемыми на плоскости с однородными координатами

Набор из трех чисел может представлять как прямую, так и точку, и, следовательно, уравнения прямой, заданной двумя точками, и уравнения точки, заданной пересечением двух прямых, идентичны. Принцип двойственности широко используется в проективной геометрии, поскольку для каждого свойства точек и прямых можно получить двойственный результат с помощью взаимной замены точки и прямой. Рассмотрим в качестве примера следующий результат.

Теорема 14.1. Если прямые, соединяющие вершины (точки) двух треугольников, проходят через общую точку, то точки, в которых соответствующие стороны (прямые) пересекаются, лежат на общей прямой.

Эту теорему иллюстрирует рис. 14.2, а ее доказательство приведено в монографии [14.1]. Обратную теорему можно получить при помощи непосредственного использования принципа двойственности.

Рис. 14.2. Иллюстрация к теоремам 14.1 и 14.2. Точки и коллинеарны в том и только том случае, если прямые проходят через общую точку

Теорема 14.2 (двойственная теореме 14.1). Если точки, в которых соответствующие стороны (прямые) двух треугольников пересекаются, лежат на общей прямой, то прямые, соединяющие соответствующие вершины (точки) треугольников, проходят через общую точку.

В машинной графике принцип двойственности можно использовать для экономной организации программного обеспечения. Так, одну и ту же процедуру можно применять как для определения пересечения двух прямых, так и для построения прямой, соединяющей две точки. (В обоих случаях такая процедура вычисляет значения миноров определителя размерами .) Однако читатель должен иметь в виду, что применять принцип двойственности можно лишь при использовании однородных координат. Более того, принцип двойственности применим лишь для получения результатов, относящихся к взаимному расположению объектов и не учитывающих никаких соотношений, связанных с расстоянием. Рассмотрим, например, следующий простой результат: «Точки

биссектрисы угла, образованного двумя прямыми, находятся на равном расстоянии от обеих прямых». В данном случае неясно, какой объект является двойственным биссектрисе, однако поскольку биссектриса представляет собой прямую, то двойственный объект должен быть соответственно точкой. Обозначим его через и сформулируем утверждение, двойственное только что приведенному: «Прямые, задаваемые двумя точками и проходящие через точку находятся на равном расстоянии от этих двух точек». Поскольку существует лишь одна прямая, находящаяся на одинаковом расстоянии от двух точек (нормаль, проходящая через середину определяемого ими сегмента), то последнее заключенное в кавычки утверждение неверно.