3.4. ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Значительную часть обработки изображений можно выполнить, не повторяя для каждого нового изображения статистический анализ, описанный в предыдущем разделе. Вполне достаточным оказывается ограниченный объем априорных сведений. Допустим, нам известна матрица совместной встречаемости для «идеального» изображения и требуется улучшить качество зашумленного варианта этого изображения. Если наибольшие элементы матрицы расположены на главной диагонали или вблизи нее, то это означает, что большая часть пикселов имеет тот же цвет, что и соседние пикселы. Если мы хотим выровнять гистограмму такого изображения, то, как показано в разд. 3.2, целесообразно воспользоваться правилом 3. Если требуется устранить шум, то замена значения каждого пиксела зашумленного изображения некоторой взвешенной суммой значений соседних пикселов приведет к уменьшению изменчивости значений смежных пикселов, и мы получим изображение, более близкое к оригиналу (см. пример 3.5). Таким образом мы приходим к соотношению, характеризующему связь исходного изображения и изображения подвергнутого фильтрации:

Процесс, реализующий эту операцию, называют линейным фильтром, в частности фильтром скользящего среднего, поскольку при его использовании значение каждого пиксела заменяется разновидностью среднего от значений соседних с ним элементов. Если весовая функция в пределах изображения не изменяется и не зависит от координат х, у, то уравнение (3.2) можно переписать в следующем виде:

Этот процесс называют пространственно-инвариантным фильтром. Эти фильтры широко применяются при обработке временных сигналов, однако целесообразность их использования в обработке изображений не очевидна. Уравнение (3.3) упрощается при записи его через фурье-преобразование. Можно показать (см. разд.

Результат применения такого фильтра состоит в подавлении одних частот и усилении других в зависимости от Н(и,

Пример 3.5. Если требуется очистить изображение от высокочастотного шума, то для осуществления такого сглаживания можно воспользоваться следующей разновидностью функции

Резучьтат применения фильтра можно оценить сравнив разности значении соседних пикселов до и после фильтрации В частности простейшие выкладки показывают что

Если обозначить через максимум абсолютной разности значений смежных пикселов исходного изображения и через соответствующую разность для пикселов изображения, прошедшего фильтрацию, то из уравнения (36) следует

т.е. очевидно, что эта разность расти не может Равенство имеет место только в случаях, когда максимальная разность значений пикселов в раз больше максимальной разности значений для пары пиксетов т.е. когда есть некоторая линейная функция от своих аргументов В противном случае указанная разность будет уменьшаться и области изображения будут принимать более однородный характер Поскольку обычно применение такого простейшего фильтра оказывается недостаточным для устранения шума приходится прибегать к использованию фильтра высшего порядка Одна из возможных реализаций такого фильтра заключается в вы боре простого фильтра и многократном применении его к изображению На рис 39 и 310 приведены результаты фильтрации на рис. 3.10 а представлено исходное изображение полученное из изображения, приведенного на рис 3 9, при помощи наложения на последнее гауссовского белого шума, на рис. 3.10 б представлены результаты восьмикратного применения фильтра заданного уравнением (3 5) Не трудно видеть что этот процесс приводит не только к удалению высокочастотного шума, но вызывает и размывание краев изображения

Рис. 3.9 (см. скан) Исходное изображение использованное для ...

Действительно, если применить уравнение (3.6) к четко очерченному краю изображения

то оказывается, что

Другими словами, разность значений смежных пикселов уменьшилась вдвое и это, естественно привело к понижению контрастности изображения

Результаты применения данного фильтра можно также оценивать, рассматривая фурье-преобразование функции Введем обозначение

Воспользуемся уравнением (34)

Это выражение можно упростить, воспользовавшись тождеством

и выполнив затем простейшие тригонометрические преобразования, в результате выражение (3 8) принимает следующий вид

Отметим, что , если и или равны и что, кроме того,

Таким образом, высокие частоты подавляются.

Рис. 3.10. (см. скан) Изображение с высоким уровнем шумов, полученное путем наложения шума на изображение рис 3.9 (а), изображение, полученное в результате применения процедуры линейной фильтрации к изображению, приведенному на рис 3.10,а

Наличие отмеченной связи между удалением шума и размыванием краев изображения означает, что при обработке изображений линейными пространственно инвариантными фильтрами следует пользоваться осмотрительно К сожалению, обширное и успешное применение подобных фильтров при работе с временными функциями стимулировало их использование в обработке изображений без учета присущих им ограничений

Аналогичная проблема возникает в связи с фильтрами верхних частот Их использование позволяет получать изображения с более резкими краями однако одновременно приводит к усилению высокочастотного шума

Пример 3.6. Простейший фильтр верхних частот определяется следующим образом:

Его фурье-образ имеет вид

Для Н максимум составляет и достигается при а минимум