14.4.2. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ОТРЕЗКОВ ПРЯМЫХ

Приведенные выше результаты можно использовать для проверки наличия пересечения двух отрезков прямых и — в случае существования такого пересечения — для отыскания соответствующей точки. Если два отрезка прямых заданы точками то они имеют пересечение в том и только том случае, когда при подстановке в уравнение прямой, соединяющей точки координаты точек имеют разные знаки. Аналогичное условие действует и для случая, когда точки меняются ролями (рис. 14.4). Итак, необходимо определять знаки следующих четырех величин:

Условие пересечения требует, чтобы имели разные знаки; то же самое относится к и Отметим, что это условие несколько слабее условия, использованного в утверждении 14.1,

поскольку в данном случае не важно, какой именно знак имеют соответствующие величины, если знаки различны.

Если условия пересечения выполнены, то координаты точки пересечения можно определить, решив пару линейных уравнений

Отметим, что числа уравнений и неизвестных одинаковы, поскольку значение произвольно.

Рис. 14.4. Иллюстрация к соотношению знаков величин, определяемых уравнениями (14.17):

Условия пересечения можно записать в компактном виде:

Аналогичным образом уравнения (14.18) принимают вид:

Если одна или несколько величин имеют нулевые значения, то имеет место вырожденный случай и критерий сравнения знаков использовать не удается Если то это означает, что точка лежит на прямой, определяемой точками Чтобы определить ее принадлежность отрезку прямой, соединяющей эти точки, требуется лишь сравнить знаки Если одно из этих значений равно 0, то это означает, что какие-то две точки совпадают. Если 0 равны оба этих значения, то все четыре рассматриваемые

точки коллинеарны. Наличие наложения отрезков прямых можно проверить с помощью сопоставления значений координат х или у.