10.3. МНОГОЧЛЕНЫ БЕЗЬЕ

Этот класс многочленов применяется в интерактивных системах машинной графики для приближенного решения задач на построение кривых по точкам. Вместо непосредственного использования точек, представляющих обрабатываемые данные, для задания многочлена при построении искомой кривой в интерактивном режиме определяется множество точек-ориентиров. Многочлены

при этом задаются не в явном виде как а в параметрической форме:

Если — указанные точки-ориентиры, то соответствующий многочлен Безье определяется как

где обозначает число сочетаний из объектов по

Эта формула неудобна для проведения вычислений — значение лучше определять, пользуясь рекуррентной формулой

Уравнения (10.9) часто удобно записывать в векторной форме:

таким образом,

На рис. 10.3 приведен один многочлен Безье для и два многочлена Безье для Последний пример показывает, что размещение точек-ориентиров, обеспечивающее построение кривой определенного вида, требует достаточно высокой квалификации. Это обстоятельство является серьезным недостатком данного метода. Создается впечатление, что популярность приближения

Рис. 10.3. Примеры многочленов Безье, построенных по трем и четырем точкам-ориентирам

ния с помощью многочленов Безье объясняется существенно большей простотой написания соответствующих программ ЭВМ по сравнению с программами, реализующими более совершенные методы построения кривых по точкам.

Уравнение (10 12) справедливо не только для двухмерных векторов Р, определенных в соответствии с уравнением (10.1 1), но в той же степени для векторов с произвольной размерностью. Это удобно использовать при описании пространственных кривых. Из уравнения (10 12) следует, что

т. е. используется диапазон изменения от 0 до 1.

Производная многочлена Безье, записанного в векторной форме равна

Отметим, что

и, следовательно, разложение в ряд Тейлора в окрестности нуля приводит к следующему выражению.

разложение в ряд Тейлора в окрестности единицы приводит к следующему выражению:

Итак, при соответствующий многочлен Безье сов-падает с линиями, соединяющими т. е. с касательными к данной кривой в точках и Рт. Более того, поскольку

то значит многочлен Безье расположен внутри выпуклой оболочки множества точек-ориентиров.